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On y parviendra au moyen des équations suivantes : 



?>* a' '^^ ,-2 n n f" (^) . 



a = a ; — , » = iX j — — i^ y). U = î — ; 



f tt ' ip a ^ ^ a (p tt ^ 



]a première donne l'expression déjà connue do «', et la seconde montre 

 que pour trouver une seconde valeur approchée /3' , il faut retrancher 

 de a le terme ï'^Q, i étant la dillérence connue des deux limites ce 

 et/3. Dans les applications numériques, cette différence est une unité 



décimale d'un ordre donné , par exemple, ( — ) , C~J > ^^'^- ^^ 



coefficient Q est un nombre constant commun à toutes les opérations 



qui se succèdent. Daus l'expression -, — on désigne par A celle des 



deux limites « ou ô, qui, étant substituée pour x dans ®",r, donne la 

 plus grande valeur numérique, absli-action laite du signe. Dans le calcul 

 du quotient Q,il suffit de trouver le premier chiffre, en observant de 

 prench-e toujours ce chiffVe trop fort. On connaîtra facilement par ce 

 mo3'eu jusqu'où l'approximation doit êlre portée, dans le calcul de la 



quantité «' ou « ~ On s'arrêtera donc dans la division au dernier 



chiffre' dont l'exactitude est assurée. La plus grande hraile doit tou- 

 jours être prise trop forte, et la moindre limite trop faible 5 ces deux 

 nouvelles limites x' et B' doivent différer d'une unité décimale d'un 

 certain ordre. Connaissant ces limites, on continuera l'application des 



mêmes règles. 



VII. ^^^ bornes de cet écrit ne nous permettent point de rapporter la 



démonstration des propositions précédentes; nous nous proposons de 

 l'insérer dans quelques-uns des Numéros suivaus : elle se déduit des 

 principes connus de l'analyse algébrique, et il y a une partie de cette 

 démonstration que l'on peut aussi rendre très-sensible par des cons- 

 Iructions, comme nous l'avons indiqué autrefois daus nos premiers 

 Mémoires, et dans ceux de 1807 et i8ii.' 



Si l'on prend pour exemple l'équation x — o.x — 5=0, à laquelle 

 Neuton et plusieurs autres analystes ont appliqué leurs méthodes d'ap- 

 proximation, on trouvera qu'en choisissant pour les premières limites 

 û et Z>, les valeurs 



0= 2 , 09455 



Z» = 2 , 09456 



les nouvelles valeurs seraient 



a = 2, 094551,181 5 

 h' = 2,094551/4816 



