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Pour l'iutégrer, je désigne par z' ime autre fonction de x, y et t, 

 qui satisfasse à l'équation 



dz' /■d'z' , d'z'S . . 



Tt ="' K^.-^ + -dyJ' ^'^ 



m étant un coefficient indéterminé. En différenciant cette équation 

 par rapport à t, il vient 



d-- z' '_ /• d^ z' d^ z' \ 



dt Kdx^dt dj'dtj' 



et si l'on met dans le second membre de celle-ci , à la place de 



, sa valeur tirée de la précédente, ou a 



a t 



d-'z' x d'^ z' d* z' , d* z'\ 



dt' \ djc" ^ dx'dy- ^ dy'-J' 



d'où il résulte que si l'on lait m^-=. — tz^, on satisfera à l'équation (i), 

 en prenant z = z". De cette manière , on n'aura qu'une intégrale 

 particulière dp cette équation ; mais si l'on prend successivement 

 //z = -1- ti V^^ et m = — a V — 1 5 l'équation (2) donnera deux valeurs 

 de z", dont la somme exprimera l'intégrale complette de l'équation (1). 

 La question est donc réJuite à intégrer cette équation (2). 

 Or, M. Laplace a donné l'intégrale de l'équation 



dz' _ ^ 



di rt" a-^ ' 



SOUS cette forme : C"^) 



/> — e? 



e étant la base des logarithmes dont le module est l'unité, <p une fonc- 

 tion arbitraire, et l'intégrale relative à « étant prise depuis « = 



jusqu'à « = + — • De plus, il est aisé d'étendre cette forme d'intégrale 

 à l'équation (2), par rapport à laquelle on aura 



z^ -zzi II e e <p{x -\- ioi\/mt,y -\- '^^V int) doc d^; 



l'intégrale relative à Ê étant aussi prise depuis €=r jusqu'à 6 = + — . 



Maintenant, si nous mettons successivement dans cette formule 

 + a V^i et — fl V^y à la place de ?/î^ et que nous tassions la somme 



(*) Journal de l'École Polytechnique, i S" cahier, page a38. 



