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Ces dernières formules, qui suffisent pour établir les pi*opriétés des 1 d 1 b. 



Fonctions réciproques, sont celles dont M. Poisson et moi nous nous 

 sommes servis, chacun séparément, pour intéguçr les équations difié- 

 rentielles du mouvement des ondes. Au moment où j'ai rédigé sur cet 

 objet l'article déjà cité, je ne connaissais d'autre Mémoire oîi l'on eût 

 employé les formules en question, que celui de M. Poisson et le mienj 

 mais, depuis cette époque, M. Fourier m'ayant donné communication 

 de ses recherches sur la chaleur, présentées à l'Institut dans les années 

 1807 et 1811, et restées jusqu'à présent inédites, j'y ai reconnu les 

 mêmes formules. Quoi qu'il en soit, comme on en a déjà fait, et qu'on 

 peut en faire encore de nombreuses applications, je crois que les géo- 

 mètres en verront avec quelque intérêt une démonstration simple et 

 rigoureuse. 



Pour établir les équations (7) et (8) , nous chercherons les limi- 

 tes vers lesquelles convergent, tandis que oc. diminue, les intégrales 

 doubles 



rf-f \v=o,f = COJ 



(10) Il Q '^'^ f(^j). COS. f^(y — x).d[^,dv; 



en partant de ce principe, que si N désigne une fonction de v toujours 

 positive depuis v ^= v^ jusquav = y, , et v' une valeur quelconque de» 

 intermédiaire entre v^ et v^, on pourra choisir celle valeur intermédiaire v 

 de manière à vérifier l'équation 



yVw.''.{:z:-}=/(o/Nrf^{;z;;}. 



Gela posé, ou trouvera 

 • — tifj. 



Ile ' f(y)- COS. /*(*' + •^)- df*-. dv 



= arc.tang.-^./(0) 

 v' désignant une quantité positive; et l'on en conclura en faisant « = o 



^/(v>cos.^ (V + ce), df^. d. |';2;;:^*}=o x/(o=o, 



