CLASSE DES SCIENCES. 129 
positions de la sécante MM’ ; mais en substituant à l’arc MN 
sa corde, qui n’en diffère que d’un infiniment petit négli- 
geable, on a un triangle MNM/ qui est isocèle; la droite MM’ 
est donc bissectrice de l’angle NMQ, et, à la limite, de 
l'angle TMQ, puisque MN devient tangente au cercle. 
Donc la tangente à la cycloïde au point M est MB’, et la 
normale est MB. 
Cette propriété de la normale peut être généralisée. 
Dans une roulette quelconque, la normale à la courbe 
décrite passe toujours au point de contact de la courbe 
génératrice et de la base. Lacroix démontre cette pro- 
priété en faisant rouler un polygone sur un autre ; mais la 
démonstration peut être ramenée au cas d’une cycloïde 
quelconque , en substituant à la base sa tangente, et à la 
courbe mobile son cercle osculateur. Les déplacements 
infiniment petits ne seront altérés que de quantités infini- 
ment petites par rapport à eux. Soit donc M (fig. 2), le 
point décrivant; on passera du point M au point M’, en 
faisant tourner le cercle autour de son centre d'un angle 
très petit, puis en le transportant parallèlement à la base 
à une distance égale à MM’. Alors, OB et OM sont res- 
pectivement perpendiculaires à NM’ et MN; donc l'angle 
, MN _ MN . MO 
MOB = MNM'. De plus, TL Re cal mé a Les 
deux triangles MNM’ et MOB sont par conséquent sem- 
blables ; il en résulte que MB est perpendiculaire à 
MM’. 
Rayon de courbure dans une cycloïde quelconque. — Je 
passerai d’un point de la courbe à un point infiniment 
voisin comme précédemment. Soient B et B’ (fig. 3) les 
deux points successifs du contact de cercle générateur avec 
la base ; alors BB’ = mm’ = NM’. MC et M’C sont les 
normales en M et en M’; le rayon de courbure au point M 
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