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droite (i) dans la quadriquc 



(12) (^'« — //m) 



fcfil 



fe'fs 



/ 



f3 r* I 



m 



n 



'■?1?3 



^= o. 



TsTsI 



(i3) 



)) Si l'on veut que cette quadrique soit une sphère pour toutes les va- 

 leurs de k, l, m, n, il est nécessaire que cp^» ?3> 'ffii ?- se réduisent à des 

 constantes. Donc nous voyons que les équations 



(a, X+ ô, Y + c, Z -h rt',).r -I- d„y -hd^z-h a,, X + b,, Y -t- c, Z 4- r/,, = o. 

 («5 X -H 65 Y -i- C5 Z -I- r/5) a; -h «/„y + rf, s 4- a, X + ig Y + c, Z 4- ^/g = o , 



oïl les constantes sont assujetties aux conditions 



a, CTg — a, «5 = è, hg — il /'s ^= c, (•« — c,, C5 

 / aj}^ + h, «s — a.., h^ — b,, a, = o, 

 (i4) < a,c^-\-c,a^—a,,c- — c.a^^o, 



{ b,Cg-hc,hi, — b,,c,— c,b^ = o, 



déterminent co" transformations qui changent les droites en des sphères. 

 )) Les droites se transforment en des points si 



(t 5 ) cl,:d.r. </, : d, = d^^ld^ld. idf,. 



En employant la méthode de S. Lie, nous vérifions facilement que les 

 transformations (i3) sont des transformations de contact. Nous voyons 

 ensuite que, en particularisant les constantes de la manière suivante : 



(.6) 



a, = 6, = </, = r/j = c, ^ c?^ = C5 =^ c^5 r^ </j = «8 = ig = r/s = o, 



f I = e?., =^ a,, = a., ^- «/„ = — Cg = i , i, = — />>, == i. 



nous avons la célèbre correspondance étudiée par Lie 



(17) Za- H- ;:: 4- X -H jY =r o, (X-j'Y)a-+j-Z = o. 



» Si nous recherchons les transformations de l'espace à n dimensions 

 qui transforment les droites en des sphères et qui sont déterminées par 

 deux équations bilinéaires, nous trouvons que ces équations doivent être 

 de la forme 



ou 



?,■ = «i,,X-, + a2^,X„ 4- . . . + a„,,X„ • 



