( 2^ ) 



et les6« constantes a,,y sont assujetties aux ^(n — i)(n — 2) équations de 

 condition; donc il n'y a pas de transformations de cette espèce dans les 

 espaces à un nombre de dimensions supérieur à onze. Pour /z = r i , nous 

 avons ce' transformations; « = 10, so« ; /i = 9, co'"; n = 8, cc'^ ; n — 7, oo''; 

 « = 6, 00' « ; « = 5, ^'o ; n := 4, ^' ' ; n = 3, 00". 



» Nous remarquons enfin que l'on peut obtenir une certaine catégorie 

 de oo" transformations de contact en généralisant la forme donnée par 

 Darboux (Théorie des surfaces, § 157, t. I) à la transformation de Lie. En 

 effet, les équations 



^ ' -^ ( /i = a^y. + ^oP + c,>y h- d.f, m -- a,,a.-h h.,{i -\- r,/,' H- </., p 



établissent une correspondance entre les droites (X-, /, m,n) et les sphères 

 (a., fj, y, p) de telle façon que deux droites se coupant se transforment en 

 deux sphères se touchant si les équations suivantes sont satisfaites : 



a ta2 — a.j a ., = b^b.,— b-, b^ = c,c.^ — c^c,, - d, d., — d^ d,, = i , 



a,b.,-\- b,a.,— a.jb^— bjU^^ o, b,c., \- b^c, — b^c.,— b.,c.j— o, 



(21) 1 



1 a,c., -h c,a.2 — a.jC,, — c^U:, — o, b,d.^^ bnd,— bjd.,— bj,d.j^^ o, 



[ a,d.,-hd,a., — a 3 <-/,,— </;,«,, = o, c^d^^ Cyd, — c^d,, — d.jC,, — o, 



car ces équations sont nécessaires et suffisantes pour que la forme qua- 

 dratique 



(k — k'){n — n') — (/ — l')(m — m ) 



soit changée par la transformation (19) dans la forme quadratique 



("- - ^'X' + ((i - P')' + Cy - y'/ - (p - ?')'• 



» Ici il y a encore quelques questions qui se posent ; par exemple la 

 question de la possibilité de la transformation des lignes asymptotiques 

 dans les lignes de courbure et la question si le groupe à six paramètres est 

 continu dans le groupe à treize paramètres. « 



GÉOMÉTRIE. — Sur les sur/aces de M. Voss. Note de C Guichard, 

 présentée par M. Darboux. 



« Je conserve les notations et les formules de ma Note précédente 

 (Sur les réseaux cycliques qui contiennent un système de géodésiques) . J'ai 

 fait remarquer que si « = i le réseau F est un réseau de Voss, c'est-à-dire 



