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» Considérons, dans le plan complexe des 'C, l'angle aigu C compris 

 entre les deux demi-droiles issues du point — i et qui font avec le demi- 

 axe réel positif les angles -^ et jv (N désignant une quantité donnée 



plus grande que i), et soit 



la fonction qui représente l'aire C sur un cercle du plan Z, de façon qu'au 

 point - = o corresponde le centre Z = o du cercle, et au point 'C = i le 

 point Z = I. Soit maintenant z = i^-^g^-(Z) : quand le point Z décrit la 

 circonférence de centre Z = o et de rayon i, le point z décrit une courbe 

 fermée C,,, entourant l'origine et passant par le point z = i. Si N croît 

 indéfiniment, C^ tend à se réduire au segment oi de l'axe réel. Soit enfin 



a . 



z, = - : quand s parcourt C,,., 3, parcourt une courbe fermée, soit C^. 



» Ceci posé, considérons la fonction 



et développons-la en série de Mac-Laurin : 



,-4-(Z) = ^'^o(-) + A. (=-)^ + A,(..)Z=^ + A,(z)Z-^ + ..., 



où les Aoy, Aoy,_, sont des polynômes en :; de degré^(AoHsi, A, ;^o). 

 Faisons Z = 1 , et (pour simplifier la notation) posons 6^= A.,, + A., ^, ; 

 la série 



'1=0 



converge el représente ^ dans toute l'aire intérieure à la courbe fermée C'. 



Les X sont des fonctions rationnelles de N à coefjîcienls entiers, dont il est fa- 

 cde de donner l'expression explicite. 



« Plus généralement, soit Y {z) une branche de fonction analytique 

 holomorphe a l'origme; soit a son étoile de convergence. Soit enfin a un 

 quelconque des points singuliers de la branche Y {z) {a est un sommet de 

 1 étoile), et soit a^ l'aire intérieure à toutes les courbes C"^. Quand N croît 

 Huléfinimcnl, a, tend vers a. Remplaçons dans tous les termes de (i) 



