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 les zJ par — rf^ z', et soit P<,(2) ce que devient alors Bç(zj ; on a 



'/= 



7 = </ = o 



dans toute l'aire a.^. Pour tout point extérieur k cCp,, la série diverge. 



» Précisons un peu le degré de convergence de ces séries. Il nous suffit 

 de considérer la série (i). Soit, dans le plan ^, ABC l'aire de l'angle t située 

 à gauche de la droite ^ = r, ('( = ^ + ir\), et soit A'B'C l'aire homothétique 



de ABC par rapport à *C = o, le rapport d'homothétie étant i + |^- Soit 



enfin F-y l'aire transformée de A'B'C dans la transformation z = yr 



Quand N croît indéfiniment, l'aire Ty comprend sensiblement tout le plan, 

 abstraction faite du segment i, -h oo de l'axe réel. Ceci posé, soit Sj'(z) la 

 somme des v premiers termes de la série (i); on a 



Il suit de là que, si l'on pose N = Iog(« + 2) 



v = «, q„=s,':{z), n„ = Q„^, -Q„, .no=. I, 



la série 7 n„(s), dont les termes sont des polynômes en z de degré n, con- 



verge et représente ; dans tout le plan, sauf sur le segment i. H- ao de 



l'axe réel. 



)) Dans l'aire r,„„^ (qui tend vers a pour q — ao), la somme 2^ des q pre- 

 miers termes de la série représente ; avec une erreur moindre que 



-t- - ( l — 10g2) 



2 ^ . Les coefficients des !!„ sont rationnels en \o^(^n-\- 2). Si, au 



lieu de faire N = log(/i 4- 2), v ^ n, on faisait N = Ai, v = 4«2", on 

 obtiendrait une î.ériebien plus rapidement convergente, où tous les coeffi- 

 cients seraient des nombres rationnels, mais dont le «"'"* terme serait un 

 polynôme en z de degré l^ni". 



» Pour obtenir le développement de F(z') dans (X, il suffit, dans une des 



deux séries précédentes, de remplacer partout z' par .^"" (y =: o, 1,2, . . . )• 



w Donnons maintenant un exemple d'cVo//ec«m//g-/?e. Le point c étant un 



