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 point quelconque du plan complexe i^z = x + iy), décrivons sur le seg- 

 ment oz comme diamètre un demi-cercle omz ou L, qui sera défini sans 

 ambiguïté par la condition que le sens omzo soit le sens/jo^ùi/du contour 

 fermé omzo. Prolongeons la branche de fonction F(:;), holomorphe à 

 l'origine, le long de L : si le prolongement est possible régulièrement jus- 

 qu'en z, le point z, par définition, fera partie de l'étoile curviligne d'es- 

 pèce L attachée à F. Soient 7/ cette étoile, Fl(:;) la valeur ainsi définie pour 

 F en z. Soit, enfin, a un quelconque des points singuliers de F qu'on ren- 

 contre sur les chemins L: les points du plan exclus de l'étoile oJ sont tous 

 distribués sur des demi-droites issues des points a et faisant avec la direction oa 

 l'angle 4- -• Représentons enfin par C^ la courbe que parcourt le 



point z = quand z, parcourt le contour désigné plus haut par C,,. 



En substituant, dans toutes les définitions du début, C^ à C,,,, on définit, 

 pour chaque valeur de N(N ]> i), une aire ctJ^ qui tend vers a' pour N =; ce. 

 Ceci posé, toutes les propositions précédentes subsistent sans modification pour 

 la branche Fl(s) et les aires a! , aj,, à condition de substituer à la fonction 

 ç(Z), introduite plus haut, la fonction 



o(Z) = 



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où ^(Z) garde le même sens. Le développement de la nouvelle fonction 

 o(Z) en série de Mac-Laurin (où l'on fait Z ^ i) fournit donc le moyen de 



développer en une série explicite in„(3) de polynômes convergente dans 



tout le plan sauf sur la demi-droite issue du point z = i et parallèle àoy. En 



remplaçant partout z' par — q— -■'» on obtient un développement de Fl(5) 



convergent dans toute l'étoile a'. 



» Observons que V étoile ce' n'est pas nécessairement d'un seul tenant. Soit, 

 par exemple, F= \J{i~z){i — iz-^z-) où F = + v'â pour :; = o; l'étoile v.' 

 relative à F comprend tout le plan, à l'exception des trois demi-droites D. 

 D', D" issues des points :; = i , = = i -i- /, s = i — ^■ et faisant respective- 



ment avec Ox les angles + ^' + x' "^ "^" ^^^ ^^"^ premières forment 

 un angle aigu E et les points intérieurs à E ne peuvent être reliés à l'ori- 

 gine par u;i chemin continu sans franchir les demi-droites D ou D'. La 

 série S converge dans tout le plan sauf sur D. D', D" et représente, pour 



