(33 ) 



» Il est clair que P est aussi une intégrale de l'équation (i) n'admettant 

 pas d'autre point singulier que l'origine. 



» Je me propose de montrer que le rôle de la fonction P par rapport à 



l'équation (i) est analogue à celui de la fonction - par rapport à l'équation 



de Laplace. 



)) En effet, l'équation (i) étant identique à son adjointe, on a toujours, 

 entre deux fonctions ii et v admettant des dérivées continues jusqu'à l'ordre 

 2/1, la relation 



(3) I (v/ii — n/v) dS = I [Lcos(«,;r) -t- M cos(«, j) -t- N cos(/*, s)] r/T, 



où dS désigne l'élément de volume d'un domaine S et de l'élément de 

 surface de la frontière c de S. 



» L, M, N sont des expressions bilinéaires des fonctions u, v et leurs 

 dérivées jusqu'à l'ordre 2rt — i inclus. Il importe d'observer que le coeffi- 

 cient d'une dérivée quelconque d'ordre f de u est une fonction linéaire des 

 dérivées d'ordre 2n — i — v de v. 



» Cela posé, supposons que u soit une intégrale de l'équation (i) et 

 posons r = V(x- ~ .t„, y — y„, z — ;„). La formule (3) s'applique encore 

 à condition d'exclure le point Xg, j„. r„ du domaine S en l'entourant d'une 

 surface arbitrairement petite. Un raisonnement calqué sur la démonstra- 

 tion classique de la formule de Green nous permettra d'écrire la formule 



(4) /cu(Xg, y„, Zg) = / [Lcos(«,a?) H- Mcos(«, j) 4- Ncos(rt, =)Jr/'7, 



qui présente une analogie parfaite avec la formule bien connue de Green. 



)) Désignons maintenant sous le nom de problème de Dirichlet généralisé 

 la recherche d'une intégrale de l'équation (i) continue ainsi que ses déri- 

 vées jusqu'à l'ordre in inclus dans S, prenant à sa surface t des valeurs 

 données ainsi que ses dérivées jusqu'à l'ordre n — i inclus. 



» Admettons qu'il soit possible de résoudre ce problème, et désignons 

 par g{x, y, z; x„, >„, ::„) la fonction en donnant la séparation dans le cas 

 où les valeurs données à la surface sont celles de la fonction 



V{x-x^,y - yg,z- z„) 



et ses dérivées. L'application de la formule (3) aux fonctions /«et ^conduit 



G. R., 1899, 2' Se>77cstre. (T. CXXIX, N» 1.) 5 



