( 9'> ^ 

 et l'on sait que la série 



(o) jffo.o' + I «0,1 = 1 + !«(,.«M + l^o.i^"! +■ ■ • 



est convergente au moins dans un certain domaine | r | <; A, | n^ j <] B. 

 » Inversement, considérons une série 



/=«. /=» 



(')' 2 Pji"^-' «0^2 («0,,-^+ «,,y3(^-)(*' +. . .+ ajjiV'), 



et appelons série absolue déduite de (i)' la série (2). Regardons x, ^, y, •/) 

 comme les coordonnées d'un point de l'espace à quatre dimensions E4, et 

 soientD le domaine de E,, où la série (i )' converge, D^ le domaine où la série 

 absolue converge. En général, D est plus grand que D„. Si (:■„, (v„) est un 

 point de D<j, tous les points du domaine D', défini par les inégalités 

 I c I < I s„ |. I (i-' I < I Hf„ |, font partie de D„, et la somme de la série (i)' est 

 une fonction F(3, w) holomorphe dans D'; de plus, «oo» ^ot> ^n' ■■• coïn- 

 cident avec F(o, o), Fl(o, o), F'„.(o, o), etc. 



» Ou ne connaît aucun moyen de définir avec précision le domaine D„ 

 (d'après les singularités de F). Mais il est bien aisé d( définir le domaine D. 



» Posons 



= i =/^[cos(io — 0) H- Jsin(to — 9)], 



z 

 et soit 



pour une valeur donnée de t, soit 



/-.H[/,,(co-6)] 



le module minimum des points singuliers de F, (z); le domaine de con- 

 vergence D de ( i)' est défini par l'inégalité r<; H \fr, (w — 6)|, et la surface 

 limite de D par l'égalité r = H [/"d ('»' ~ 9)j- 



■ Prenons, par exemple, F = ^ > et, donnant à z, w des va- 



leurs réelles x, y, déterminons le domaine D dans le plan réel xOy. La 

 série 



- = 1 + a: ^- (f-^x^) + ( j' - 2X--J) +. . . 



2>' 



converge dans l'aire finie comprise entre les deux droites a; = ± i et les 

 deux paraboles 2)/ = ±(i 4- x"). L'aire D„ est exactement ici l'aire finie 



C. R., 1899, 2« Semestre. (T. GXXIX, N» 2.) l3 



