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 comprise entre les deux paraboles 2y = ± (i — x^); D„ est sensiblement 

 moindre que D (' ). 



» Quand une série (i) converge uniformément dans un domaine (à 

 quatre dimensions) de E qui comprend l'origine {z = o, (v = o), à son inté- 

 rieur, elle représente une fonction F(z, «) holomorphe à l'origine, et la 

 série absolue converge, à coup sûr, dans un certain domaine entourant 

 rori£;ine. Mais bornons-nous aux valeurs réelles x, y, des variables z, a\ 

 Existe-l-il des séries entières (i)' ou lp„(x,y), gui convergent uniformément 

 dans une aire du plan xOy entourant l'origine, et telles que la série ab- 

 solue (2) ne converge en aucun point x„,ya (en dehors des axes Ox, Oy)Ç-); 

 autrement dit, telles que la somme ¥( x, y) de la série ne soit pas une fonction 

 analytique de x, y, holomorphe à l origine? C'est là une question fort inté- 

 ressante, que je signale en passant, et qui ne me semble pas avoir été 

 étudiée jusqu'ici. 



)) Revenons à la fonction analytique F(z, tv), holomorphe au point 

 0(z = o, (V = o). Soit (s„, «>„) ou P un point quelconque de E,, et L la 

 demi-droite qui joint OP; prolongeons F(z, w) analytiquement le long 

 deOP; si le prolongement n'est pas possible régulièrement jusqu'en P, 

 soit Q ou (z =:a, iv = b) la première singularité de F qu'on rencontre 

 sur OP; excluons de E< la demi-droite issue de Q et dirigée en sens inverse 

 de QO. Les jîoints restants de E^ formeront un domaine à quatre dimen- 

 sions a, qui sera dit l'étoile de convergence (relative à 6 ) de la fonction 

 F(s, w). Dans les exemples les plus naturels, les singularités de F seront 

 données par une relation analytique entre z et w, et les points exclus 

 de E,, seront distribués sur une surface à trois dimensions, engendrée par 

 une demi-droite (à une dimension) qui dépend de deux paramètres. 



» Ceci posé, j'introduis un développement de M. Mittag-Leffler qui 



représente : en dehors du segment de droite (i, -H 00) : soit 



(3) (T=:tt = 2 P«(=) = 2 (V« + >.,«'-+••■ 4- V„s''). 



(') Si l'on donne à la série la forme i ^{x^— 2y) + {x^~ 2'))--t- (x- — 2y)^-h..., 

 la nouvelle série converge entre les deux, paraboles 27 = ^-±1; elle diverge donc 

 dans une portion de D. 



(-) La réponse me semble devoir être négative, mais je ne l'ai pas démontré rigou- 

 reusement. Il est facile de former des séries T.p„{x, y) qui convergent par exemple 

 sur toutes les droites issues de l'origine, faisant avec Ox un angle commensurable 

 avec T., et qui divergent en dehors de ces droites. 



