( '^5 ) 

 )) Si la surface doit être une quadriqiie, il faut que tous les détermi- 



nants du second ordre 



(4) 



<!>„ 'l'p 'l'y ^i 



w, wi w; i-ii 



se réduisent à des fonctions du deuxième degré au plus. Soient, en parti- 

 culier, toutes les fonctions <î>,, W, du premier degré. Les équations 



ou 



o,- = a,- X + Z>,- Y -h CiZ -h di. 



définissent un groupe de tc^" transformations qui transforment la droite (2) 

 dans la quadrique 



(6) 



o. 



» Si l'on veut que cette quadrique soit une sphère pour toutes les va- 

 leurs de A:, /, m, n, il est nécessaire que 92, 03, Çn, 9, se réduisent à des 

 constantes. Donc, nous voyons que les équations 



1 (a, X -+- /^ Y + c, Z -^- r/, )x -{- (l,y + d., z H- a, X -+- è, Y + r,, Z + r/, r= o, 

 ^'^' ( (fl^X + i, Y -+- r^Z + f/5) ^- + <-/« V -^ d-,z -^ rtjX -f- 6^ Y + r^Z + d^ = o, 



où les constantes sont assujetties aux conditions 



/ a^a^ — a„a,, = b. l\ — h-, h^ = c,c^ — c,, c-~ 



\ a.b<, -\' 

 (8) 



«I^S -+- ^l«S — <-l-J^'< — ^4 «5 



O, 



a,i\ -t- r.a. 



a.,c-^ — c,,a.^ = o, 



/>,r, + r,/;, - h,r, — c.,b^ = o, 



déterminent cc'^ transformations qui changent les droites en des sphères. 

 » En employant la méthode de Sophus Lie nous vérifions facilement 

 que les transformations définies par les équations (7) sont des transforma- 

 tions de contact. Les droites se transforment en des points, si 



(9) d^ -.d^-.d^: d,, = r/,, : /,; : d^ : d^. 



» Nous voyons ensuite que, en particularisant les constantes de la ma- 



