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 nicro snivanle 



!</, zrzz a^ = A, = h^ r=z Ci,=^ r- = (l^ = (■/._, — r r/- — : .■/- ^= c/^ 7= O, 

 

 (t i = f/. — r.'| = — ("g = rf., — r/„ = I , /y, = — A ., = y/ — l , 



nous avons la corresjiondance célèbre étudiée par Lie. 



» Si nous recherchons les transformHtions de l'espace à n dimensions 

 qui transforment les droites en des sphères et qui sont déterminées par 

 deux équations bilinéaires, nous trouvons que ces équations doivent être 

 de la forme 



" 2 «H- 1 



OÙ les 6« constantes sont assujetties aux .^(/i — i) (« + 2) équations; donc 

 iln'v a pas de groupes de transformations de cette espèce dans les espaces 

 à un nombre de dimensions supérieur à onze ('). Pour « = ii, nous 

 avons 00' transformations; n = 10, oc"; n = 9, oc"'; n = 8,cc'^; n -— 7,3c'''; 

 n ixze.oo'»; n = S, ce"; /z = /|,cc"; n = 3, ce". 



» INous remarquons enfin que l'on peut obtenir une catégorie de ce'' 

 transformations de contact en emplovant la forme (■) de la transformation 

 de Lie donnée par M. Darboux. 



» En effet les équations 



(',0) ^,,=:/-.„4-7..«^_ ^..-^_v^p (/ = I,2,3.'i) 



établissent une correspondance entre les droites («,, r/o, «.,, ff , ) et les 

 r~phères(a,fl,Y, p), de telle façon que deux droites se coupant se Irausforment 

 on deux sphères se touchant, si les dix équations suivantes 



,, I ^\ ^'- - ^J-: = . . = v,v^ — v,v. I . 



' / • I A . 1- A,/c., — ^"3 At — ^-i^'/, = ■ '> 



•.ont satisfaites, car ces équations sont nécessaires et suffisantes |)our que la 



(') I^e maximum pour n, savoir 4, donné dans ma Note Sur la correspondance 

 entre les lignes droites et les sphères {Comptes rendus du 9 janvier 1899), est inexact. 

 (-) Darboux, Théorie des surfaces. I. I, 11° 157. 



