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 forme quadratique 



(a, — i'\ ) (a. — «',,) (rto — ti..)(a., — «'.,) 

 soit changée par la transformation (12) dans la forme quadratique 



(y. - ^'Y + ( P - :^'y + (t - y')' - (p - P')'- » 



GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Sur la /// cône générale des congriiciices de 

 cercles et de sphères. Note de M. C. Gciciiaud, présentée par M. Darboux. 



« Les systèmes de points, plans, droites, cercles, sphères que je vais 

 considérer dépendent de deux paramètres que j'appelle u et v. Afin de 

 rendre les énoncés plus concis, je ferai les conventions suivantes : 



)) Un point M décrit un réseau si, sur les surfaces lieu de M, les courbes 

 /; z^ const., c =: const. sont conjuguées. 



» Un plan P enveloppe un réseau si, sur la surface enveloppe de P, les 

 courbes u = const., c -- const. sont conjugnées. 



» Une droite U décrit une congruence si les surfaces réglées u = const. , 

 (' = const. sont des développables. 



» Une sphère S décrit une congruence si « et v sont les paramètres des 

 lignes principales de l'enveloppe de la sphère (Darboux, Leçons, IP Partie, 

 p. 322). 



» Un cercle C décrit une congruence si, dans chaque série de cercles 

 u = const., c = consl., un cercle quelconque est rencontré en deux points 

 par le cercle infiniment voisin (Darboux, Leçons, IP Partie, p. Si^). 



» Si une sphère S décrit une congruence, son centre M décrit un réseau ; 

 quand u ou c varient seuls, la sphère S touche son enveloppe suivant deux 

 cercles C, ou C^ qui décrivent des congruences; ces cercles sont les cercles 

 focaux de la congruence de sphère. Les deux cercles focaux se coupent 

 en deux points A et B qui sont les points de contact de la sphère et de son 

 enveloppe. La droite AB décrit une congruence parallèle au réseau M. La 

 droite AB sera la corde focale de la congruence de sphères. 



» Si un cercle C décrit une congruence, il en est de même de son axe D. 

 Soient 5, et s^ les foyers de la congruence D ; (S, ), (Sj) les sj)lières qui ont 

 pour centres 5, ou s.^ et qui passent par le cercle C décrivent des con- 

 gruences. Ces sphères (S,), ( S,) sont les sphères focales de la congruence de 

 cercles. Le plan P du cercle enveloppe un réseau M qui est le rc seau focal 

 de la congruence de cercles ; soient MA et Al 13 les fangenles à ce réseau ; les 



