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cercles focaux des congriiences (s, ) et (.v^), ;uilres que le cercle C, passent 

 respectivement par les droites MA et MB. 



» Ces propriétés bien connues étant rappelées, je vais introduire les 

 coordonnées penlasphériques de M. Darboux. J'écrirai l'équation d'une 

 sphère S, sous la forme 



— 2X,X — '2XnY — 2X3Z -+- .r^{X- -h Y--1- Z-— 1) 



^'-^ I -{-ix,(X'-\-Y- + Z'-h<.)--=-o, 



où X, Y, Z sont les coordonnées courantes; x,, a:,, . . .,oc. les coordonnées 

 de la sphère. Pour que la sphère S décrive une congruence, il faut et il 

 suffit que les quantités a-, , . . . ,\x^ soient solutions d'une même équation de 

 Laplace : 



^ ■' ou oc h âv au l au or 



)> Il en résulte que x,,.. .,x^ sont les paramètres directeurs d'une droite 

 de l'espace à cinq dimensions qui décrit une congruence; donc : 



» A chaque congruence de droites dans l'espace à cinq dimensions on peut 

 faire correspondre une congruence de sphères. 



» Deux congruences parallèles dans l'espace à cinq dimensions donnent 

 la même congruence de sphères. 



» Je prends maintenant un cercle C qui décrit une congruence; 

 soient ^,, ...,(5 les coordonnées de la sphère focale S,; r,,, ...,r,-^ celles 

 de la sphère focale Sm. Quand v varie seul, la sphère focale S, doit toucher 

 son enveloppe suivant le cercle C; de même quand u varie, la sphère S^ la 

 touche suivant le cercle C. On doit donc avoir des relations de la forme 



,,, (§ = «.+«'•., . 



(-') 1 , / 1—1,-2., 



[^=ci.^^,^ 



A, B, C, D étant des fonctions de u et v. On sait qu'on peut multiplier les 

 quantités ^ par un facteur, les quantités r, par un autre facteur, de façon 

 à ramener le système (3) à la forme 



/ / \ d^i drii y ^ 



(4) ^=rtr,„ ^=mç, i==l,2 D. 



» On fait ainsi correspondre les congruences de cercles et les'réseaux de 

 l'espace à cinq dimensions. Les quantités ç, r, sont respectivement les para- 



