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 » La démonstralion du théorème inverse du précédent se base sur la 

 considération de la fonction suivante : 



« Cette dernière jouit de la propriété remarquable de devenir une diffé- 

 rentielle exacte, que nous nommerons àM, en vertu d'une intégrale géné- 

 rale ou particulière du système (2). Nous avons, en particulier, si les équa- 

 tions (i) sont résolues par rapport aux dérivées /?,, p.^, . . ., />„,, que clM est 

 identique à la différentielle (/U, étudiée dans ma Note : Généralisation delà 

 première méthode de Jacobi sur l'intégration d' une équation aux dérivées par- 

 tielles (^Comptes rendus du 23 janvier 1899). Je veux ici mentionner à son 

 sujet que M. A. Mayer a bien voulu attirer mon attention par sa lettre du 

 22 juin sur son Mémoire : Zur Intégration der partietlen Differenlialglei- 

 chungen erster Ordnung (^Nachrichten von der k. Gesellschaft der Wissen- 

 schaJtenundderGeorg-Augiists-Universitàt, Gotlingen, 1873, p. 299), qui 

 m'était inconnu à l'époijue, quand j'ai [jubiié mon Travail cité plus haut. 

 Cet éminent i;éoinètre, tout en conservant les notions de 1 illustre Lagrange 

 sur les équations aux dérivées partielles et leurs intégrales, y a esquissé une 

 démonstralion de la méthode de Cauchy, généralisée par S. Lie, sur l'inté- 

 gration des équations correspondant à la différentielle d\] , et cela en pro- 

 fitant des propriétés de cette dernière. Le théorème suivant donne une 

 extension de la théorie en question aux équations (i) : 



» IL Considérons l'intégrale particulière du système (2) 



1 '^irn-i ^-~y i \,"^( ' "^ 2> • • • 5 ■^iii' a^, a.y^ • ■ • % a,i_,„, w, , o.,, . . . , o,i_,„j, 



[ Ps--'h{^\^'^-2^ ■■ ■' ^m^ a^, a.., a„^,„,b,,b.,,. ., 6„_„;), 



i = 1 , 2, . . ., n — m, A = r , 2, . . .. «, 



que l'on obtient en prenant les équations (i) comme m intégrales distinctes, les 

 constantes arbitraires «,, 6, étant les valeurs initiales des variables j:',„-h,, Pmi^i- 

 La quadrature de la différentielle exacte f/M effectuée, considérons la fonction 





OÙ M est la valeur initiale de la fonction M. En éliminant les a,, donnés en 



C. R., 1899, 2* Semestre. (T. CXXIX, N" 4.) 2() 



