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(kl -+- fi- 1 , p =^ o ou 1 est impossible en nombres entiers réels x, y, ; pre- 

 miers entre eux deux à deux et à À, quand A est réel et égal à i ou 

 /•';■. . ./■','', r,, . . ., r, étant des nombres premiers différents, différents de 1, et 

 appartenant ( mod 1) à des exposants/,, . . .,/ tels que 



i 



m — < 



1 



f. 



C'est en particulier le cas quand A = /-''^i ( mod>.). 

 )) II. L'équation indéterminée 



.r' 4- ,}'' = /■'■'-' 



(X premier non exceptionnel, r, premier, è,< >.) est impossible en nombres 

 entiers réels : 



>; i" Quand r'i'^ -'i-i-c,! (modX-), quel que soit 1, c, étant un, au 

 moins, des nombres i, 2, ..., X — i qui dépend de>.; 



» 2° Quand 1 = 5, 7 ou 17 et r^'H;a4 (modl*); 



)) 3° Quand 1 = 1 1 et r*'^5 ou 47 (mod 11); 



» 4° Quand X = i3 et r^'^Ei7 (^mod i3 ). 

 » III. L'équation indéterminée (') 



x' -^ y'' -^ c;' 



est impossible eu nombres entiers réels quand c est premier et d'une des 

 formes 



49Â-±:3, dr 4, ±5, +6, —8, rh 9, zh lo, — l5, 



±16, —22, dz 23 ou ±24. 



u IV. L'équation indéterminée x^'-h y^=lz'' (1 premier non excep- 

 tionnel) est impossible en nombres entiers. 



» Les méthodes qui nous ont conduit à ces résultats permettraient 

 d'ailleurs d'obtenir une foule de résultats analogues pour les équations de 

 la forme OL^ -i-j' =^ cz^\ c ayant d'autres valeurs que celles indiquées ci- 

 dessus. » 



(') Le cas où X ;= 5 a été étudié par Diiichlel (OEuvres complètes) et Lebesgue 

 (Journal de Lioiiville; i843). 



