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GÉOMÉTRIE. — Sur une correspondance entre deux espaces réglés. 

 Note de M. A. Democliiv, présentée par M. Darboux. 



« Soit (^{oc, y, i) = C l'équation d'une série simplement infinie de sur- 

 faces. Co et C,', étant deux valeurs particulières données à C, insérons entre 

 ces nombres n moyens C,, Co, . . . , C„ et posons 



AQ = C,^,-C,, AC„ = C,;-C„. 



Soient Sq, S„, S,. . . , S„ les surfaces de la famille qui répondent aux va- 

 leurs Cj, C„, C,, .... C„ de C. Attribuons à chacune de ces surfaces un 

 indice de réfraction : à la surface S;^ l'indice i — /(Q) AC^,/(a) désignant 

 une fonction continue de a; à la surface S', l'indice un. Cela posé, à tout 

 rayon lumineux d nous ferons correspondre un rayon lumineux d' de la 

 manière suivante : le rayon d étant assujetti à rencontrer d'abord la sur- 

 face So en A(, se réfractera en ce point en obéissant à la loi de Descartes et 

 donnera lieu à un rayon réfracté AoA, ; celui-ci se réfractera à son tour à 

 sa rencontre en A, avec la surface S, et ainsi de suite; le rayon A„_, A„ se 

 réfractera en A„ à sa rencontre avec la surface S„ et donnera lieu au 

 rayon d' . Il suit immédiatement du théorème de Dupin que si le rayon d 

 engendre une congruence de normales, il en sera de même du rayon d' . 

 Faisons maintenant croître n indéfiniment, lesAC/; tendant vers o. A tout 

 rayon d correspondra une courbe F, limite du polygone A,, A, ... A„_, A„ et 

 tangente en Ap au rayon d. La limite d" du rayon d sera évidemment tan- 

 gente à la courbe T au point où celle-ci rencontre la surface SJ,. 



» Pour traduire en formules la correspondance entre les droites d et r/", 

 il faudra déterminer les courbes T dont le nombre est quadruplement infini. 

 Ces courbes ne dépendent que de la famille '^(x, y, ^) = C et de la fonc- 

 tion y(a) et non des surfaces Sq, S|,. 



» Soient u, v, w- les cosinus directeurs de la tangente à l'une quelconque 

 des courbes r et 5 l'arc de cette courbe. On a 



1 Is =/(9)l?.--»'(«?x 

 » De ces équations on déduit aisément le théorème suivant : Celles des 



