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courbes Y qui passent en un point M de V espace ont leurs centres de courbure 

 en ce point distribués dans un plan, mais cette propriété n'est pas caracté- 

 ristique : les courbes les plus générales qui la possèdent sont définies par 

 les équations (A) où l'on remplacera les fonctions /(o), 9'^,, ©',., cpl par 

 quatre fonctions arbitraires de x, dey et de ^. 



» Les courbes Y ont pour équations différentielles 



» Ces courbes, gauches en général, ne sont planes que lorsque les sur- 

 faces 'i^{x, y, z) = C sont des sphères concentriques ou des plans pa- 

 rallèles. Nous avons intégré les équations (B) dans ces deux cas ainsi que 

 dans le cas d'une famille de paraboloïdes égaux et de révolution autour du 

 même axe. 



« L'étude de la correspondance des droites d et d" se justifie par le 

 théorème suivant : 



» Si une droite d engendre une congruence de normales, la droite d" en 

 engendre une autre. 



» Ce théorème, très vraisemblable d'après ce qui précède, peut être 

 établi en toute rigueur; il permet de déduire d'une congruence de nor- 

 males une congruence de normales el constitue une réponse partielle à 

 une question intéressante qui nous a été proposée par M. Bricard et que 

 nous soumettons à notre tour aux géomètres : Etablir entre deux droites la 

 correspondance la plus générale telle que si l'une d'elles engendre une con- 

 gruence de normales, il en soit de même de l'autre. Les transformations 

 demandées forment évidemment un groupe. 



» Dans le même ordre d'idées, nous indiquerons une généralisation du 



théorème de Dupin qui nous semble nouvelle. Soient : i, 1, i„, n -h i 



surfaces fixes. A une droite d rencontrant la surface 21 en M faisons corres- 

 pondre ainsi qu'il suit une droite d' passant par M. Appelons p,, . . ., p„ les 

 longueurs des normales MP,, ..., MP„ menées du point M aux surfaces 

 i,, . . ., i,,, et a,, . . ., a„, n vecteurs unitaires dirigés suivant ces normales. 

 Soient, déplus, a, %' et pdes vecteurs unitaires dirigés suivant les droites </, 

 d' et la normale en M à 2. Le vecteur a' sera défini par l'égalité 



«a.'=_2;^--a, ^-a-hAp, 



