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 pour le cas on a est cornmensurahle, qu'il y a n-'^c infinité ci intégrales 

 allant passer par l'origine. 



» Supposons >. positif. Il est toujours possible et il sera commode pour 

 certains raisonnements de mettre l'équation sous la forme 



(2) xdy + K(^/.r l'A -f- Jîy(i + . . .)] = o. 



)) En clifrchanl l'intégrale générale de celte équation on obtient 



(3) 



y£f'(i + V'f, +7-©2 + v^'fa-l-.. .) = const., 



où les ff) sont di's fonctions de x. L'argument dp x étant et son module p, 

 cette série sera convergente, si 



Op |< /?■ et 



valeur de /■. 



le peut être pris arbitrairement; i dépend de h 



» Ce développement permet de montrer que l'intégrale dont les valeurs 

 initiales sont a;„, r„, prend, pour une valeur dp x, une valeur y très petite, 

 si j-ji est suffisamment petit. 



» On peut aussi montrer que, si .r ne tend pas vers zéro, suivant un 

 chemin tel que | pO | croisse indéfiniment, il n'y a pas d'intégrales pour 

 lesquelles a; et y tendent simultanément verS|zéro. Cette conclusion peut 

 encore se déduire de la remarque faite par M. Picard que, si x tend vers 

 l'origine suivant un chemin de longueur finie, il n'y a pas d'autre intégrale 

 que y = o. | 



» Il suit de là que, pour toute intégrale différente de j == o et passant par 

 l'origine, le produit du module par l'argument de chacune des variables x 

 et y devra croître indéfiniment. De pareilles intégrales existent. Foijr le 

 voir, il suffit de considérer l'équation 



.rrfy(2 — xy) -i- ydxi^i + xy) = o, 



dont l'intégrale générale est donnée par 



X ■■ 



\/Ti 



fi 



» On doit remarquer que la condition donnée est relative au cas oii les 

 variables ont été choisies de telle façon que l'équation prenne la forme (2). 

 Si les variables n'étaient pas telles que ,r = o et j' = o soient deux courbes 



