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 intégrales, elles pourraient, dans certains cas, tendre toutes les deux vers 

 zéro, sans que leur argument augmentât indéfiniment. 



1) On peut, dans l'é.tude de l'équation (2), distinguer trois cas : 



» i" \ est commensurable, mais des conditions, en nombre infini, per- 

 mettant de mettre les <p de l'intégrale (3) sous la forme de polynômes en a; 

 ne sont pas remplies. Les o sont des polynômes en x et logo;. La série 

 formée par les ternies qui ne contiennent pas log.r peut être divergente. Si 

 elle est convergente, on peut donner une forme de l'intégrale générale de 

 l'équation, valable quels que soient a; et y, supposés suffisamment petits. 

 Dans tous les cas, on peut démontrer qu'il existe toujours une infinité d'in- 

 tégrales passant par l'origine. Si w et 6 sont les arguments de y et de x, la 

 somme cd -f- ).0 tend, pour ces intégrales, vers une limite finie. 



» L'étude faite par M. Poincaré (Journal de Mathématiques ; i885) d'un 

 foyer d'une espèce particulière montrait que, si >. est égal à un, il peut y 

 avoir, dans certains cas, une infinité d'intégrales passant par l'origine. 



» 2° X est commensurable et les conditions dont il a été parlé sont rem- 

 plies. Les «p sont alors des polynômes en a? et, en partant de la condition de 

 convergence donnée, on montre que la série (3) converge pour cr et j suf- 

 fisamment petits. Il ne passe par l'origine que les intégrales x=^o, j = o. 



» 3° >. est incommensurable. Les cp sont des polynômes en x eta-^. On 

 peut trouver un développement de la forme (3) satisfaisant formellement 

 à l'équation, les tp étant des polynômes en r seulement; mais ce dévelop- 

 pement peut être divergent. Dans les cas où il est convergent, il est bien 

 évident qu'il n'y a que deux courbes intégrales a; = o e\.y=^o, passant 

 par l'origine. Il paraît vraisemblable qu'il en est toujours de même. 



« Considérons maintenant le cas oii 1. est ««/dans l'équation (i). 



n Cette équation peut alors toujours se mettre sous la forme 



{x + . . .)dy -)-j'"+' dx = o. 



■) Si l'on cherche à y satisfaire par un développement 



x — ay- -t- by'^ 4- . . • 



on obtient une série qui peut être convergente. Dans ce cas, l'équation 

 admet, outre y = o, une seconde intégrale pour laquelle l'origine n'est 

 pas un point transcendant. 



M En posant y = tx, on met facilement en évidence une infinité d'inté- 

 grales passant par l'origine. Pour ces intégrales, si ip est l'argument de r, 



