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 » Celte quadrique peut se réduire à une splière, pour toutes les valeurs 

 de k, l, m, n, dans les deux cas suivants : 



" 1° Quand tous les six déterminants de la matrice 



(4) 

 où 



se réduisent à la forme 



(5) 





i, 



*3 

 ^7 





4,,==a.X + ^,,Y + c,Z, 



const.(X= + Y='+Z-); 



» 2° Quand un déterminant quelconque de la matrice (4) se réduit à 

 la forme (5), et les fonctions <p, correspondant aux fonctions J/, restant 

 dans la matrice se réduisent à des constantes; par exemple, soient les 

 fonctions «p^, Ça, cpoi Çv constantes et le déterminant i/i^» — ^i,'\-^ de la 

 forme (5). 



» Le deuxième cas donne les transformations des droites en sphères 

 étudiées dans une Noie présentée par M. Darhoux du 17 juillet 1899; 

 mais le premier cas, bien que ses conditions soient apparemment plus 

 nombreuses, donne une famille plus remarquable et plus étendue de trans- 

 tormations de contact, savoir un groupe de oo'^ transformations. 



» En effet les équations 



I a,«5 — a^aj = bib„ — b^bj = CiC„ — c^Cj, 



/(js ) (iib^ + b^a^— a^bj — b^Uj ■= o, 



i />,c, -I- Cib^ ~ bpCj — c^bj = o, 



1 c^a^ + UiC^ — c^Uj — a^cj = o, 



qui sont nécessaires el suffisantes pour que le déterminant 



(7) h'^'^-^9^J' 



soit changé dans la forme (5), possèdent la solution symétrique 



'Q\ [bi=iai, b^ = — ia^, b; = 



a,, 



la 



.1' 

 a,, 



br. 



Ula- 



ainsi, on trouve que 



(9) 



I ■\ij = aj X + iaj Y + cj Z , 



j = 1,2,3,4, 



I 



