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» Ces transformations ci-dessus (A) transforment plan en plan et ainsi 

 chaneent droite en droite; donc, en combinant les transformations de 

 contact du groupe (A) avec les transformations de contact du groupe (i), 

 on obtient un groupe de transformations de contact contenant trois fonc- 

 tions arbitraires, c'est-à-dire un groupe à une infinité de paramètres qui 

 transforme les droites en sphères; les transformations de ce groupe (S) 

 sont équivalentes aux transformations données par tous les produits 



(7) S = LPLnA. 



« D'après leur définition les transformations de contact établissent une 

 correspondance entre les éléments de surface de telle façon qu'une multi- 

 plicité des éléments de surface est transformée en une multiplicité des élé- 

 ments de surface; donc il est clair, géométriquement, que les transforma- 

 tions de contact, qui transforment les plans en plans, changent aussi les 

 droites en droites et, réciproquement, que les transformations de contact 

 qui changent les droites en droites transforment aussi les plans en plans. 

 Ainsi en recherchant les transformations de contact les plus générales (D) 

 entre les plans, on peut construire au moyen du groupe (1) un groupe 

 continu infini de droite-sphère transformations (T) plus étendues que le 

 groupe (S); le groupe (S) est évidemment un sous-groupe du groupe (ï). 



)) On trouve les transformations (D) de la manière suivante : soient 



(8) cc,= X, J, = Y, ^, = Z, p, = P, y, = Q, 



où X, Y, Z, P, Q sont fonctions de x-,y, z,p, q, les équations définissant les 

 transformations (D). 

 » Soient aussi 



» En développant la forme o>(cp, <^) on a 



et en employant les formules de Lie ('), on trouve 



^,f\ lî-lliZlI) ^ o,(X, P) _(o(Q,Y) ^_ 'o(X,Q) 



(') Noir Lie-Engel, Théorie der Transfonnationsgiuppen, t. Il, p. 38o. 



