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Irois équations 



/ - \ àf ôf 



^ ■' d-r " ay 



/AN df ' df df df 



/ N -y Of , o df àf df 



^'■' ax -^ dv dz di 



qui sont des cas spéciaux de (3), et les deux équations 



/8\ àf , ,(>f 



- \ àf df 



V9) ^^-■-^^. = "' 



qui ne le sont pas. En faisant celte réduction, j'ai mis de côté quelques 

 équations qui conduisent ou aux cônes, ou aux surfaces rationnelles (uni- 

 cursales), qui ne peuvent avoir aucune intégrale de première espèce. 



» Voici les surfaces auxquelles conduit l'intégration de ces équations 

 différentielles : 



(I) x-y--h 2XY{z,ty+{z,iy=^o, 



(II) z-{x,yy-^izt{x,Yy + t\x,YY = o, 



(III) {xy,zty-^-axl^+byz''^o, 



(IV) {xt-Yzy + i{xt -Yz){z,ty-\-{z, ty = o, 



(V) (ixi-Y"-y-^2(2xt-y^-){z,ty^(z,ty = o, 



où j'emploie la notation (a?, y)'" pour un polynôme homogène arbitraire 

 du degré m. 



» Les surfaces (I), (II) sont celles qui ont été signalées par M. Poin- 

 caré. La surface (IV) a une droite double (5 = ^ = 0) d'une espèce supé- 

 rieure, que l'on peut appeler une ligne tacnodale (^ac/ior/a/ Une), parce 

 qu'une section plane générale y a un point tacnodal (tac-node). C'est un cas 

 limite de la surface (II) qu'op trouve quand les deux droites doubles 

 (x ^= y = o, z = t = o) s'approchent l'une de l'autre sans se rencontrer; 

 mais l'équation (IV) n'est pas un cas spécial de l'équation (II). La sur- 

 face (III) a deux points uniplanaires, à savoir : x = z — t^o,y = z — t:=o; 

 d'ailleurs les droites a: = ;=:o, ^ = ^ = sont lignes simples, chacune 

 avec le plan tangent fixe. La surface (V) a un point tacnodal j = - = / = o. 



