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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Surun développement d'une Jonction holoinorphe 

 à l'intérieur d'un contour en une série de polynômes. Note de M. Rexaux, 

 présentée par M. Picard. 



« M. Picard a donné (^Comptes rendus, année 1879; tours d'Analyse. 

 \. II, p. 288) un élégant «léveloppement pour une fonction holomor|)Vie à 

 l'intérieur de l'aire limitée par une ellipse. On peut facilement généraliser 

 ce développement. Soient un contour simple S, et:;, =/(:) la fonction cpii 

 représente d'une manière conforme l'aire extérieure à S sur l'aire exté- 

 rieure à un cercle C du plan des s, ayant l'origine pour centre, les points à 

 l'infini se correspondant. On aura 



z, = kz[ I 

 et, en posant z^ = ku. 



- = ?(") = «!+ -7, 



les coefficients b étant convenablement choisis. Soit R(, le module de u 

 pour lequel le développement de z cesse d'être convergent. Si u par- 

 court le cercle C„ de rayon R^, ;: décrira une courbe So qui sera comprise 

 à l'intérieur du contour S, si ce contour est formé tout entier d'un seul 

 arc régulier de courbe analytique, et qui coïncidera avec S dans le cas 

 contraire. Aux différents cercles concentriques à Co et extérieurs corres- 

 |)ondront des courbes de niveau extérieures à S^ et si u parcourt la couronne 

 limitée par deux cercles C, et C^ concentriques à Cp et de rayons R, et R^, 

 (Ri >Ro]>Ro), z décrira l'aire limitée par deux courbes de niveau S, 

 et So (S, extérieure à S^). 



» Soient x un point quelconque de cette aire et z un point quelconque 

 extérieur à S,. Soient u et U les valeurs correspondantes, u situé entre les 

 cercles C, et C,, U extérieur à C,. On aura 



Log(U-,^) = LogU-2j;(g)''- 



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Or, si l'on con!^idère le développement de uP suivant les puissances dé- 



