( hlk ) 

 croissantes de x, on obtiendra, en s'arrêtant au terme en -> un polynôme 

 de degré /? et l'on pourra écrire 



Q,(.%) étant une fonction holomorplie à l'intérieur de So et s'annulant à 

 l'infini. Si l'on exprime la fonction Q/,(^) par rapport à u, on obtiendra 

 une nouvelle fonction R/,(")= QpC^)' pi'océdant suivant les puissances 

 positives de - à l'extérieur du cercle C;,. 

 » Or, on peut écrire 



et il est facile de démontrer que l'on a 



(,) Log(=-a;) = LogU-2-^ ^j7^' 



/'■ 



Rp(") 



^ ' /• = ' 



» Le premier développement est absolument et uniformément con- 

 vergent pour les valeurs de rr comprises à l'intérieur du contour S,, z étant 

 extérieur à S, ou sur ce contour. La série (i) peut être dérivée soit par 

 rapport à z, soit par rapport -ax, et toute fonction holomorplie à l'intérieur 

 d'une courbe de niveau S, (S, pouvant se réduire à S») est développable 

 en série procédant suivant les polynômes P^(.a?), (P» = i) ou bien les poly- 

 nômes dérivés P^(^). Ce développement exige qu'on connaisse les valeurs 

 de la fonclion sur le contour S,. Les polynômes P;,(^) restent les mêmes 

 pour les différentes courbes de niveau. Enfin, le développement (2) est 

 valable pour tous les points ^ et a; extérieurs à Sj ou, ce qui revient au 

 même, pour les points U et u extérieurs au cercle Cp. 



» Si l'on pose 



a7 = &-{-r/,, z = ^ + iX, /•^ = (X-ç)=^-(Y-•0^ 

 U = R(cosii + ïsinP.), V ,,{x) = G^(ç,r) -I- i Hp(ç, r,), 

 on aura pour Logr le développement suivant : 



(3) Logr = LogR - ;21 ^ [^z-^'- ''^ """"^P" -^ "''^^' '''^ ''"^"^' 



;' = ' 



