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') On satisfait à ces conditions en posant 



(3) ir = 2Y,sin^, 



i 



i étant un nombre eritier et les Y, des fonctions dey seulement. En portant 

 cette expression dans l'équation (i), on obtient 



lÈEiy (yY- '-^ y; + ^' Y,) sin ^ =/,. 



i 



» La formule de Fourier donne 



(4) Yr-^^Y, + ^Y,= gï^J ^s.n — rfa.=y;.(j), 



fi{y) étant ainsi une fonction connue. 

 » On tire de là 



(5) Y,= ?,(v) + A,Sin^ +B,Cos^ +y(c,Sin^+D,Cos^), 



oîi Sin et Cos désignent des sinus et cosinus hyperboliques; A,, B,, C,, D, 

 les quatre constantes d'intégration et <p,(j') une solution particulière 

 quelconque de l'équation différentielle (4)- Dans les applications usuelles 

 où p est une constante ou une fonction linéaire de }', on a cette solution 

 immédiatement; elle est elle-même une constante ou une fonction 

 linéaire. Dans le cas général, on l'obtiendra par la méthode de la variation 

 des constantes. 



» Il reste à satisfaire aux conditions relatives aux deux bords parallèles 

 à l'axe des x. Si l'un d'eux est simplement appuyé, on devra avoir, ou 

 pour y = G ou pour y = b, suivant le bord considéré, 



Y, = o, y; = o. 



» Si l'un d'eux est encastré, la seconde condition est remplacée par 

 Y'- = o. S'il est libre, les deux conditions sont 



Y, ^^,= o et 4 Y, -\=o. 



» Dans tous les cas, les quatre conditions à remplir sur les deux bords 

 détermineront les quatre séries de constantes A,, B,-, C,, D,. 



» En supposant ime porte décluse dont trois bords sont appuyés et le 



