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 X, étant des fonctions de x. Navier a pris une forme symétrique en adop- 



tant la série double 



V^ 'V 4 citx . mi Y 



où i et j sont des entiers et A,y des constantes que l'on détermine par 

 la formule de Fourier à l'aide de l'équation (i). » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Quelques remarques sur les intégrales doubles 

 de seconde espèce dans la théorie des surfaces algébriques. Note de 

 M. Emile Picard. 



« Dans la recherche précise du nombre des intégrales doubles distinctes 

 de seconde espèce relatives à une surface algébrique se présentent quelques 

 complications qui tiennent au fait suivant. Considérons une fonction algé- 

 brique ; des deux variables indépendantes x ely définie par l'équation 



/(x,Y,z)= o, 



et soit R(,r, j, z) une fonction rationnelle de x, y, z susceptible de se 

 mettre sous la forme 



où A et B sont des fonctions rationnelles de x, y et z (en faisant les diffé- 

 rentiations indiquées, ;: est regardée comme fonction de x et y). Cette 

 représentation de R peut évidemment, quand elle est possible, être faite 

 d'une infinité de manières. Or il peut arriver que, pour tontes ces repré- 

 sentations, A et B deviennent infinies pour des systèmes de valeurs de x, 

 y el z laissant R fini ; ce fait a été, dans mes dernières recherches sur la 

 Théorie des surfaces, l'origine de difficultés que je crois avoir réussi à sur- 

 monter et sur lesquelles je reviendrai bientôt. Je veux seulement aujour- 

 d'hui donner un exemple explicite, qui appelle de plus l'attention sur une 

 circonstance intéressante. 



» Partons à cet effet, en désignant par P{x) un polynôme arbitraire 

 en X, de l'identité fondamentale dans la théorie des intégrales hyperellip- 

 tiques d'après Weierstrass, 



/ v/P(^) \ _ ± ( v/P(y) \ 



U(^,J) 



<i-^'\(y-œ)^/¥lj); ()f\(^_.y)^/pl^)/ V/P(^)v/P(7) 



