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 reproduit la fonclion harmonique V multipliée par un facteur constant i — - 



(r étant la distance d'un point du contour à un point intérieur). Mais l'in- 

 tégrale précédente définira pour les points à l'extérieur du contour une 



fonction W^ telle que — z ( ^" W^ (/t reproduise la fonction W^ mul- 

 tipliée par un facteur constant — f i -4- - j • La fonction W^ sera fondamen- 

 tale pour l'extérieur du contour. Supposons le contour S, faisant partie 

 d'une série de courbes de niveau (') et auquel correspondront le rayon R, 

 d'un cercle (R, > R(,) et un développement de la forme 



p- 



^0 V=2ï;^[A,G,(E,r,)-l-B,H,ar.)]. 



p = i 



» Si l'on exprime que le développement (i) représente une fonction 

 fondamentale pour l'intérieur du contour, les coefficients A,, B,, . . ., A^, 

 Bp, ... devront être solutions d'équations linéaires en nombre infini. Le 

 déterminant de ces coefficients est sous forme normale [les éléments de ce 

 déterminant dépendent des coefficients des développements des fonctions 

 R^(m) définies dans la Note antérieure citée]. Ce déterminant est absolu- 

 ment convergent pour toutes lès valeurs réelles ou imaginaires de 0, ainsi 

 que les valeurs de R, ]> R„. Il détermine une fonction entière de 0, qui est 

 paire et admet une infinité de racines toutes réelles, croissantes en valeur 

 absolue avec R,. En se plaçant dans le cas des racines simples pour plus de 

 simplicité, à deux racines et — 6 on peut faire correspondre deux déve- 

 loppements de la forme (i) 



V 1 "y r ApG;,(^,T,) + B,,lI^(^,-0 1 



r 

 p 



w 



à^[ 



A„ H„ ( ^,r,)-B^G^(^,r,) - 



^ ,.=1 



/' 



^^^pi'^'p+n)^ 



(') Voir une Note anlérieure Sur un déi'eloppement d'une fonction Iwlomorplie 

 à l'intérieur d'un contour donné en série de /;o/jrtome5 (septembre 1899). Lire dans 

 celle Note : « Soil Rq le module de u pour laquelle Z = c5(U) cesse d'être con- 

 vergent, ou pour laquelle -jp- =3 » (celle dernière partie avait été omise). 



