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 représentant des fonctions fondamentales intérieures et telles que (V + iW) 

 représente une fonction analytique de la variable complexe x = 1 -h- ir\ pour 

 l'intérieur du contour. Enfin à ces deux développements correspondront 

 deux fonctions fondamentales extérieures V<- et W-. 



^^-7^ïi^^)'\K<^-^P^ 



BpSin/?i2), 



W' = ;7î2 (^)"(A^sin^i2lB^cos/,£2), 



telles que V^— fW^ soit fonction analytiqie d'une variable complexe 

 Z = X + /Y à l'extérieur du contour S, . 



» On peut alors énoncer les théorèmes suivants : 



» Théorème I. — Les fonctions 



Log(Z-ic) et Logr, ,•- =(V -If ^ {Y - r,y 



peuvent se représenter par les séries suivantes absolument et uniformément con- 

 vergentes pour X compris à l'intérieur du contour S,, Z étant extérieur ou sur 

 le contour 1 



(^) 



Log(Z -x)^ LogU - 2 ( V.^ ^■W,)(V,,,- .-W,,^), 



p=i 1 



Log/-=LogR-2(V,V„ 



Théorème II. — Toute /onction holomorphe à l'intérieur de S, est déve- 



loppable en série procédant suivant les fonctions 



W W 



' p e.p 



)• 



Jj,+ iWp(Y„ = i,W„ = o), 



et toute fonction holomorphe à l'extérieur du contour S, est développable en 

 série procédant suivant les fonctions Y^p — « W^., ,. 



» Les coefficients se déterminent par des intigrales analogues à celles qui 

 définissent les cofficients de la série de Taylor. 



» Des propriétés analogues existent soit pou: les fonctions harmoniques à 

 l'intérieur, soit pour les fonctions harmoniques a l'extérieur du contour S, . Les 

 coefficients se déterminent par des intégrales ariçtlogues à celles qui définissent 

 les coefficients de la série de Fourier. 



» Théorème III. — Si l'on considère la fidure inverse du contour S,, /e 

 pôle d'inversion étant quelconque à l'intérieur de S,, on obtient un nouveau 

 contour S■^ auquel correspondent les mêmes racines 6 que pourS^. 



