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 cette droite engendrera une congnience de nornaales, pourvu que 



(x.da -^ <^db 



soit une différentielle exacte. Cette condition ne changeant pas quand on 

 permute a et «, Z> et [3, on en déduit immédiatement une tiansformation 

 particulière répondant à la question. 



» Le problème proposé par M. Bricard conduit donc au problème sui- 

 vant d'Analyse : Trouver loules les transformations 



(0 



P= o,{x,y,p,q), V.,=:^.^{x,y,p,q), 



telles que 1V/X-|-Q6?Y soit une différentielle exacte toutes les fois que 

 p dx -[- q dy est une différentielle exacte (on suppose, bien entendu, que x, 

 r./7, 7 sont remplacées par des fonctions de deux paramètres A^ariables p, p,). 

 » Un calcul élémentaire montre que les conditions nécessaires et suffi- 

 santes pour qu'il en soit ainsi sont exprimées par les cinq relations 



D(X.P) D(Y,Q) ^ D(X,P) D(Y, Q) _ 



D(x,r) ^ D(x,j) ' T>{x,q) '^ D{œ,q) " '^• 



(.\ I D(^'P) I D(Y>Q )_o D(X,P) D(Y,Q) 



^-^ \ D{y,p) ^ B{y,p) "' B{p,q) ^ B{p,q) ^ °' 



D(X,P) _ D(Y,Q) ^ D(X,P) ^ D(Y,Q) 

 D(^,/)) ' D(^,/>) D(j,,/) ■ D(y,q)' 



on déduit aisément des formules (2) que l'on a une identité de la forme 



(3) \'dX-hQdY = A(pdx-hqdy)^df, 



A étant une constante, et f(x,y,p, q) une fonction quelconque de x,y, 

 p, q. Si l'on pose maintenant 



(4) Z = Az^f(x,y,p,q), 

 l'identité (3) devient 



(5) dZ-PdX:-qdY = A(ds ~pdx^~qdy), 



et par conséquent les formules 0) et (4) définissent une transformation de 

 contact en (x,p). Lu réciproque est évidente. 



» On voit donc qu'à toute transformation de contact en (a?, />) de l'espace 

 à trois dimensions correspond un mode de correspondance entre deux droites qui 



