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» Ma méthode était basée, pour les équations du quatrième ordre, sur 

 le théorème suivant : 



)) Les groupes projectif s rie. l'espace à trois dimensions se partagent en deux 

 catégories : 



» La première comprend les groupes qui laissent invariable une multiplicité 

 ponctuelle. Dans ce cas, ils laissent aussi invariable ou un point, ou une 

 droite, ou un plan, ou une cubique gauche, ou une quadrique non dégénérée. 



» La deuxième comprend seulement le groupe d'un complexe linéaire et le 

 groupe projectif général. 



» Cet énoncé, que j'avais déduit des résultats obtenus par M. Lie, fait 

 connaître les plus grands sous-groupes de l'espace à trois dimensions. J'ai 

 montré (/oc. cit.) comment la simplicité des invariants différentiels carac- 

 téristiques de chacun de ces groupes permettait l'étude des cas de réduction 

 d'une équation linéaire donnée. 



)) II. On ne pouvait songer, pour étendre ces recherches à l'espace à 

 n dimensions, à employer la méthode de M. Lie. Il fallait trouver un pro- 

 cédé direct, basé sur un caraclère simple et essentiel. 



M Je le trouvai dans le fait que les figures géométriques énumérées plus 

 haut : point, droite, plan, cubique gauche, quadrique non dégénérée, 

 complexe linéaire, noni, au point de vue projectif, aucune singularité. D'une 

 façon générale, je puis énoncer le principe suivant : 



» Si une figure géométrique M, , ponctuelle ou non, reste invariable par un 

 groupe projectif G , l'ensemble de ses éléments singuliers forme une multiplicité 

 Ma, invariable par le groupe G. Ainsi, lorsqu'une courbe reste invariable 

 par un groupe projectif, l'ensemble de ses points doubles, de ses points 

 d'inflexion reste aussi invariable par ce groupe. 



» Appliquons la même remarque à la multiplicité Mo, au cas où elle 

 existe, et ainsi de suite. Nous arriverons nécessairement à une multiplicité 

 M^, sans éléments singuliers, qui reste invariable par le groupe G. 



» Nous sommes donc ramenés à chercher les multiplicités, ponctuelles ou 

 non, sans éléments singuliers. 



» Il est curieux de constater que cette simple restriction limite étroite- 

 ment, et d'une façon définitive, le champ des recherches. Par exemple, 

 les seules multiplicités ponctuelles sans singularités projectives de l'espace 

 à trois dimensions sont le point, la droite, le plan, la cubique gauche, la 

 quadrique non dégénérée; ce sont précisément les multiplicités que nous 

 avons rencontrées plus haut. 



» IIL L'application systématique du principe énoncé permet d'obtenir 



