( 583 ) 



» Ce dernier résultat peul aussi être obtenu par la uiéthode que j'iti- 

 dique ici; je le montrerai en m' occupant en général des groupes projectits 

 de l'espace à n dimensions qui ne laissent invariable aucune multiplicité 

 ponctuelle. » 



GÉOMÉTRIE. — Théorème sur le nombre de racines d'une équation algébrique, 

 comprises à l'intérieur d'une circonférence donnée. Note de M. Michel 

 Petuovitcu, présentée par M. Hermite. 



« Soit F (a?) = o une équation algébrique de degré m, à racines réelles 

 ou imaginaires, égales ou inégales. Soit ensuite C une circonférence donnée 

 de rayon /■, ayant l'origine pour centre. Décrivons de part et d'autre 

 de C deux circonférences C. et C,, ayant l'origine pour centre, de rayons 

 respectifs r, et ^3 (avec '', ■<^<!^2). et telles que la couronne qu'elles 

 limitent ne contienne aucune racine de F(r) =; o. 



» Remarquons que la détermination de r, et r^ pour /• donné revient, par 

 exemple, à la détermination d'une limite supérieure des racines négatives 

 et d'une limite inférieure des racines positives d'une certaine équation 

 algébrique. 



» Soit n le plus petit nombre entier supérieur à la quantité toujours 

 positive 

 (i) I log(4w + i) ^ 



^ ^ 2 ■ / /■, — '• ■- 



log I + 



I ' 



'■2 4- '"i 



» Formons la transformée de F (a;) = en x = t\/y et soit 



(2) $(j,0 = o 



cette transformée. Formons ensuite la transformée de (2) en y = y^ 

 puis la transformée de celle-ci en z-, = s/:-.,, ensuite la transformée de cette 

 dernière en z-.^= \z^ et répétons cette opération jusqu'à la transformée 

 d'ordre n, que nous désignerons par 



(3) W(z„t) = o, 



W étant un polynôme en :;„ et t, de degré 7n en z„. 



» Désignons par >.„ le nombre qu'on obtient en posant 



dans la dérivée logarithmique de T par rapport à :;„. 



c. R., 1899, 2« Semestre. (T. CXXl.X, N° 16.) 78 



