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tique nulle, sont fonctions linéaires et homogènes de douze d'entre elles, 

 parmi lesquelles huit : Y^(u,v), V.,{u,v), ..., F8(«, <>), sont paires, et 

 quatre : 'l\(u,p), ..., $,,(?/, ç'), sont impaires. Les huit fonctions F ne 

 s'annulent simultanément pour aucun syslème de valeurs de u, i>; les 

 quatre fonctions $ s'annulent simplement pour chacune des seize demi- 

 périodes. 



» Cela posé, considérons d'abord les fonctions paires F : quatre d'entre 

 elles, linéairement distinctes, s'annulent pour la demi-période u=o, c'=o, 

 ai'cc l'ordre quatre, c'est-à-dire que leur développement en série de Ma- 

 claurin commence par des termes du quatrième ordre en i/, c. 



» Désignons par F|(//, c) F,,(j<, c) ces quatre fonctions, et soit 1 la 



surface, évidemment algébrique et hyperelliptique, pour laquelle les 

 coordonnées homogènes a-,, a?,, x^, œ„ d'un point sont proportionnelles à 

 F,(k, v), . .., F.,(m, c): si l'on observe que le nombre des zéros communs à 

 deux fonctions intermédiaires d'indices >>, v est aX^— aDv*, et si l'on se 

 souvient que les quatre fonctions F sont paires, on voit que le degré 1 est 



1(8/2- 8DP-16) 



c'est-à-dire quatre, d'après (i). 



» D'ailleurs la surface 3 a évidemment quinze points doubles, dont les 

 arguments sont les quinze demi-périodes autres que u = o, v = o, et l'on 

 établit qu'elle n'admet pas d'autre point double. 



» On obtient ainsi, en faisant varier l'entier D, une infinité de surfaces 

 du quatrième ordre à quinze points doubles, pour chacune desquelles les 

 coordonnées d'un point sont des fonctions abéliennesde deux paramètres : 

 ce résultat est d'autant plus intéressant que, si l'on applique la même 

 méthode, ou une des méthodes plus générales dont il sera question tout à 

 l'heure, en employant des fonctions intermédiaires non singulières, c'est- 

 à-dire des fonctions thêta, la surface obtenue a toujours un seizième point 

 double et se réduit, par suite, à une surface de Rummer. 



» Les surfaces 1 dépendent des deux modules arbitraires des fonctions 

 abéliennes correspondantes et de l'entier D, tandis que la surface générale 

 d'ordre quatre, à quinze points doubles, dépend de quatre modules; elles 

 possèdent toutes une même propriété géométrique, indépendante de l'en- 

 tier D, et qui peut s'énoncer ainsi : 



» Le contour apparent sur un plan d'une surface d'ordre quatre, à quinze 

 points doubles, à partir d'un de ces points, se compose de quatre droites 

 d^, d.,, d^, d,, et d'une conique C; ces cléments n'ont à satisfaire qu'à une 



