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seule condition, c'est qu'il existe une combe du second ordre bitangente 

 à C et tangente aux quatre droites d. Pour les surfaces 1, une autre rela- 

 tion lie les droites et la conique : il existe une courbe du second ordre, C, 

 circonscrite au triangle des droites </, , d.^ , d^ , passant par les deux points où la 

 droite r/, coupe la conique C, et touchant en outre celle-ci. 



)> D'ailleurs, si cette condition est satisfaite, il existe trois autres courbes 

 du second ordre analogues à C et qu'on obtient en permutant les quatre 

 droites dans l'énoncé ; de là un théorème de Géométrie élémentaire qu'il 

 serait intéressant d'établir directement. 



» D'autres surfaces à quinze points doubles se définissent d'une manière 

 semblable, à l'aide des fonctions abéliennes singulières, dont les périodes 

 vérifient la relation 



g'+h = \yg, 



D étant un entier positif, tel que la forme x'- -\- xy — Dj^ puisse repré- 

 senter le nombre trois; ces surfaces possèdent la propriété spéciale qu'on 

 vient d'indiquer. 



» De même, en supposant g' = D^ et P — Dk- = 2/>- 4- i , ou g' + h = Dg 

 et /- -I- l/c — DA- = 2/?^ + I, on arrive à de nouvelles surfaces du quatrième 

 ordre à quinze points doubles, pour lesquelles la propriété spéciale com- 

 mune a une forme plus compliquée. 



» Soit enfin S la surface pour laquelle les coordonnées d'un point sont 

 proportionnelles aux quatre fonctions impaires ^i{^u,v), définies précé- 

 demment; son degré est 



7,(8/- — 8D/:- — i6), c'est-à-dire quatre; 



elle n'a pas de point double et possède deux groupes de seize droites, qui 

 forment une configuration remarquable, en quelque sorte complémentaire 

 de la configuration ordinaire de Rummer : chaque droite d'un groupe ren- 

 contre en effet dix droites de l'autre groupe. 



» L'emploi des fonctions normales singulières conduit de même à des 

 surfiices du quatrième ordre, à quatorze, treize, douze, etc. points doubles, 

 qui mériteraient une étude spéciale. » 



