( ^^67 ) 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fonctions hyperahèUennes. 

 Note de M. Georges Humbert, présentée par M. Jordan. 



" M. Picard appelle surfaces /lyperabeliennes ceWes poiir lesquelles les 

 coordonnées cartésiennes d'un point sont des fonctions hyperabéliennes 

 de deux paramètres, ^ et vi, c'est-à-dire des fonctions qui ne changent pas 

 quand on opère sur ^ et vi les substitutions d'un groupe hyperabélien. 



» Il résulte des travaux de M. Picard qu'on obtient une telle surface de 

 la manière suivante : 



» Soient i,o; o,i; g, h; h, g' les périodes normales d'un système de 

 fonctions abéliennes à deux variables, ii cXv; admettons que ces quantités 

 soient liées par la relation 



h^^gg'=B, 



où D désigne un entier positif, non carré parfait, et posons 



si v/'(ï — 'OC' — x-t){i — y-<)(i — s^/) est le radical, du cinquième ordre 

 en t, dont dépendent les fonctions abéliennes considérées, les trois mo- 

 dules X, y, z sont des fonctions uniformes de ^, n, qui demeurent inaltérées 

 pour les substitutions d'un groupe hyperabélien G. Ces substitutions cor- 

 respondent à des transformations du premier ordre effectuées sur les 

 périodes g-, h, g' ; elles ont été étudiées avec détail par M. Bourget dans son 

 excellente thèse. 



» J'ajoute à ces résultats que, dans le cas où la forme X- — DY- peut 

 représenter le nombre — i , le groupe G contient une substitution spéciale, 

 qui correspond à ce que j'ai appelé une transformalion singulière du premier 

 ordre. 



» On conçoit qu'il y aurait intérêt à obtenir explicitement des surfaces 

 hyperabéliennes particulières et à étudier les irrationnalités qui s'y ratta- 

 chent : aucun exemple de ce genre n'a été donné jusqu'ici à notre connais- 

 sance; nous allons en indiquer un, qui se rapporte au cas où D = 2, c'est- 

 à-dire où la relation entre les périodes est 



h'-gg = 2. 



