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el Z deux variables indépendantes ou peut exprimer les quantités (6) en 

 fonction uniforme de deux paramètres, les fonctions de la représentation 

 étant hyperabéliennes. Sous une autre forme, toute surface pour laquelle 

 les coordonnées d'un point sont des fonctions rationnelles des quantités (6) 

 est hyperabélienne et répond au cas où D = 2; comme exemple simple, 

 on peut, outre la surface (i). citer la surface 



Y'- - (V--i)(Z— I) 



Y-^+Z"- 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les congruences de normales. 

 Note de M. E. Goursat, présentée par M. Darboux. 



« Les formules que j'ai données (p. 58o de ce Volume) pour défuiir la 

 correspondance la plus générale entre deux droites, cjui change toute 

 congruence de normales en une autre congruence de normales, conduisent 

 à la construction géométrique suivante : 



» J'appelle, pour abréger, axe d'un élément (a;, jk, -,/>, ^) la droite 

 perpendiculaire au plan de cet élément, menée par le point (^x, y, 3), eijile 

 d'éléments l'ensemble des éléments qui ont le même axe. Gela posé, à 

 chaque plan P faisons correspondre une surface S, de telle façon qu'à 

 deux plans parallèles quelconques P, P,, situés à une distance h, corres- 

 pondent deux surfaces parallèles S, S,, dont l'une s'obtient en portant une 

 longueur nih sur les normales à l'autre, m étant un facteur constant. Pour 

 obtenir la correspondance la plus générale de cette espèce, on pourra, par 

 exemple, se donner arbitrairement les surfaces S qui correspondent aux 

 différents plans passant par un jjoint donné O, et l'on en déduira les sur- 

 faces qui correspondent aux plans ae passant pas par le point O en tenant 

 compte de la condition précédente. Cette correspondance étant établie, 

 lorsque le plan P reste tangent à une surface non développable 1, la sur- 

 face S a une enveloppe i', qui correspond élément par élément à la sur- 

 face S. O.n obtient ainsi, il est aisé de le voir, une transformation de con- 

 tact qui change deux surfaces parallèles en deux surfaces parallèles, et 

 remplace les éléments d'une file par les éléments d'une autre file. Une 

 droite quelconque pouvant être regardée comme l'axe d'une file d'éléments, 

 la transformation précédente définit aiasi une correspondance entre deux 

 droites. Lorsqu'une droite A reste normale à une surface 2, il est évident 

 que la droite correspondante A' reste normale à la suiface i'. Lu corres- 



