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 » Premières conditions. — Il l;uit d'abord que K soit de la forme 



A(Y,X)(;^;y+B(Y,X)^+C(V,^), 

 et que A coïncide a\ec une des /«ew/ expressions suivantes : 



îrt 



2VaYH 





— ^^ ~, ^ V , ,1 \ " entier > J 



(' I , a b 



e\+/ ■2\a\ -h b 



c 

 c\ -h d 



e 



c\ 



2 



3\«Y 



a 



b 



eY 



2 aY + 4 



eY-+-^ 

 c 



+ 



\ -\-d 



3 



+ 4VcY4-«/ 



I e 



«"■Y. 



eY 



6 flY + /^ ' 3 c-Y + ^ ' 2 eY + /' 

 Il est loisible d'effectuer sur Y la transfoiniation homographique qui 



change les valeurs ' "~ ^7' ~ -7 en x, o et i; cela fail, si, pour les 



expressions précédentes de rang 3, 5, 7, iS, 9, ou pose respectivement 



:;^Y", -^ = Y^ .^=[Y(Y-i)]% ; = [Y(Y-i)f, = = Y% on ramène 

 les expressions 3 à 2, 5 a 4- 7. 8 et 9 à G et l'on montre que la nouvelle 

 fonction :■ a ses points critiques fixes en même temps que Y. Moyennant 

 ces transformations algébriques préalables, A coïncide donc avec une des 

 trois expressions. 



o, Y' 



Y- 



oii A est, suit une constante numérique a, soiL une (oucLiuu de X., que la 

 transformation X, ;= A(X) fait coïncider avec X. 



M Deuxièmes conditions. — Cette première réduction effectuée, l'équa- 

 tion (si elle a ses points critiques fixes) coïiiciile avec une des équations du 

 Tableau suivant, ou s'y ramène par une transformation y=l(X)Y-t-a(X), 

 x — <!^(X), où X, [/., '\i s'expriment atgèbrif/uement à l'aide des coefficients 

 de (i) et de leurs dérivées. 



i) y" = ay' -h Ijy -h i' (équation linéaire du deuxième ordre), 



ou y 



.bz 



2.) y" = — 'iyy' — .y' -h ay -\- b 



3) y" — — lyy' -+- a(y' +y-)+ b [ouy' + y- =^ u, u' = au -h b\, 



4 ) y"—y'^-ha[i y.y'-' -f- G [iy- -h yv -t- '^ | [ ou y'' = a yy ' + _', [iy-' - ; - --y 



C. U., iSgy, !' .Semescie. ('1. CXXI\, N' 20.) 



■2^y+-{i]. 



iOO 



