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 Vallée-Poussin ('), qui a même démontré que le produit de log a? par la 



somme '^—r— reste fini, soit *"{?, pour x -- x. Quant au deuxième 



théorème 



2é /~~ ~ — I . 



il a été énoncé déjà en i832 par Mobius (-); mais on n'a pas encore réussi 

 jusqu'ici à le démontrer; l'objet du présent Mémoire est de combler cette 

 lacune. 



» En désignant ^ --y-- par g(sc) [g(a;) doit signifier o pour *• < i], 



1 



^ [J.(/.") log/i /■/ \ t'r ■ \ 1 i>> 1- ■ 



2j j P'""' J{^')< Pt en delinissant ^(^,r) an moyen de 1 égalité 



[|£(a:)| est toujours <i (Mertens) (^) et <a e-*^'°ë^ (de la Vallée- 

 Poussin) ('), a et è désignant deux constantes positives; j'entends o par 



ï(o)], on a (5) 



(i) / "=' "=' 



» Je me propose de montrer que chacune de ces trois sommes a, pour 

 X -^ 00, la limite o. 



» Quant à la première, je la décompose en trois parties, limitées par i. 



(') Sur la fonction ^(s) de Rieniann et le nombre des nombres premiers infé- 

 rieurs à une limite donnée {Mémoires couronnés et autres Mémoires publiés par 

 l' Académie royale de Belgique, t. LIX; 1899). 



(-) Ueber eine besondere Art von Vmkehiung der Reihen {Journal de Crelle, 

 t. 9, p. 122). 



(') Ein Beitrag zur analytischen Zahlentheorie {Journal de Crelle, l. 78, p. 48 ). 



(*) Loc. cit., p. 54. 



C") Neuer, etc., p. 12. 



