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» Les conditions A suffisent pour déterminer le problème de la mesure 

 des surfaces sphériques (ou cylindriques de révolution), le problème n'est 

 encore possible que pour certaines surfaces particulières; mais ces condi- 

 tions A ne suffisent pas en général, de plus elles ne permettent d'établir 

 aucune relation entre les aires planes et les aires sphériques. Il faut donc 

 définir des conditions supplémentaires. 



» Je rappelle que les courbes se divisent en deux catégories (Scheeffer, 

 Jordan) : les courbes rectifiables, pour lesquelles les longueurs des lignes 

 polygonales inscrites ont une limite supérieure que l'on appelle longueur 

 de la courbe, et les courbes non rectifiables. 



)) Il a semblé tout d'abord que l'on pouvait définir d'une façon analogue 

 l'aire d'une surface par la considération des surfaces polyédrales inscrites. 

 Schwarz a montré, dans une lettre à Genocclii, que les aires de ces surfaces 

 polyédrales n'ont pas de limite supérieure. J'opérerai donc autrement. 



» Soit dans l'espace une ligne polygonale fermée /. Les aires des surfaces 

 polyédrales bilatères simplement connexes ayant / pour unique frontière 

 ont une limite inférieure que j'appelle Vaire minima de l. Soit une courbe 

 fermée G, j'inscris dans cette courbe une ligne polygonale /. Il est possible 

 de déterminer deux nombres * et S (^=S) tels qu'à partir d'un certain degré 

 de petitesse pour les côtés de /, l'aire minima de / soit comprise entre s — t 

 et S + £ (quel que soit i). J'appelle s l'aire minima intérieure de C, S l'aire 

 minima extérieure. Si S = 5 je dirai que la courbe est quarrable et j'appel- 

 lerai s son aire minima. Pour qu'une courbe soit quarrable il faut et il suffit 

 que sa projection sur tout plan soit quarrable. Les courbes rectifiables sont 

 quarrables. Soient 



les coordonnées des points d'une surface (que j'appelle rectifiable) telle 

 qu'à toute courbe rectifiable du plan (m, c) corresponde une courbe recti- 

 fiable sur la surface. Il est facile de déterminer la forme la plus générale 

 des fonctionsy, 'p, i|/ correspondant aux surfaces rectifiables; ces fonctions 

 sont, à plusieurs points de vue, les analogues des fonctions d'une variable 

 à variation limitée. Les surfaces analytiques sont rectifiables. A une courbe 

 quarrable du plan (j/, v) correspond sur la surface rectifiable une courbe 

 quarrable. 



» Soit une surface rectifiable S limitée par une courbe quarrable 1. Je 

 décompose S en morceaux, par des courbes quarrables. La somme des aires 

 minima de ces courbes tend vers une limite, indépendante du choix des 



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