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courbes de division quand le diamètre maximum de ces courbes tend vers 

 zéro. Celte limite, que l'on aurait aussi pu définir comme limite supérieure, 

 est ce que j'appelle X'aire. Elle satisfait aux conditions A. En parLiculier si 

 l'on a divisé S, i)ar des courbes quarrables, en morceaux dont la somme des 

 aires est inférieure à l'aire de S, on peut affirmer qu'il existe une infinité 

 non dénombrable de points n'appartenant à aucun de ces morceaux. 



M Le problème de la mesure des surfaces est donc possible pour les sur- 

 faces rectifiables S limitées par des courbes quarrables 2. Il n'est plus pos- 

 sible si i n'est pas quarrable. En opérant comme ci-dessus, on fait corres- 

 pondre à S un nombre que j'appelle aire intérieure, mais il ne satisfait plus 

 aux conditions A. Si la surface rectifiable est définie au delà de 1, on peut, 

 comme dans le cas du plan, définir l'aire extérieure de S. 



)) Dans le cas où la surface admet des plans tangents variant d'une façon 

 continue, on peut définir l'aire à l'aide d'une intégrale. On a alors deux 

 définitions d'un même nombre; ces deux définitions concordent. 



» Étant donnée une courbe C, il existe une surface rectifiable ayant C 

 pour unique frontière et dont l'aire intérieure est égale à l'aire minima 

 intérieure de C. Je l'appelle surface minima. Il n'existe pas, avec les con- 

 ditions précédentes, de surfaces ayant une aire intérieure plus petite. Une 

 surface minima pour une courbe C est minima pour toute courbe V tracée 

 par elle. Si T n'est pas quarrable, l'aire extérieure relative à r de la surface 

 minima est l'aire minima extérieure de T. 



» La définition qui précède, de l'aire d'une surface, présente la plus 

 grande analogie avec la définition de la longueur d'une courbe. A une 

 division de la courbe par des points correspond une division de la surface 

 par des courbes quarrables et à la distance de deux points de division sur 

 la courbe, c'est-à-dire à la longueur de la courbe de longueur minima joi- 

 gnant ces deux points, correspond la surface minima d'une des courbes 

 de division, c'est-à-dire l'aire de la surface d'aire minima passant par cette 

 courbe. 



» M. Peano a indiqué (') une définition de l'aire d'une surface dans 

 laquelle intervient une division de la surface en morceaux, par des courbes. 

 Sa définition est donc analogue à celle que je viens de donner. Mais, pour 

 l'appliquer avec certitude, au moins sans études nouvelles, il faut faire 

 certaines hypotbèses dont la méthode que j'ai indiquée permet de s'at- 

 franchir. 



(') liendiconti délia Accadeinia dei Lincei ; 1890. 



