Si l'on tait 



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on voit qne E,, l.,, . . ., ;„ ; r,,. r..,, . .., •/)„ représentent les paramètres di- 

 recteurs des deux tangentes d'un réseau à ds'- nul dans l'espace à six 

 dimensions; ce qui est bien conforme à ce résultat que les cercles I cor- 

 respondent aux réseaux de l'espace à cinq dimensions applicables sur un 

 réseau à une seule dimension. Je montrerai plus tard comment de ces 

 formules on peut déduire une démonstration très simple du théorème de 

 Weinffarten sur la déformation des surfaces. 



)) Les centres des sphères 2I décrivent des réseaux O ou 2O. Dans le 

 premier cas, leur rayon est constant. Les sphères 2T sont celles pour 

 lesquelles les lignes de courbure se correspondent sur les deux nappes 

 de l'enveloppe. 



» Les plans des courbes 2I enveloppent des réseaux O ou 2O; dans le 

 premier cas, le rayon du cercle est constant; le centre du cercle est le 

 point où le plan touche son enveloppe. Dans tous les cas, les pôles d'un 

 cercle 2I décrivent des réseaux O. 



» Les centres des sphères O décrivent un réseau C. Voici comment on 

 les construit : Soient M et M' deux points qui décrivent des réseaux appli- 

 cables : on sait (théorème de M. Bellrami) que si une s])hère S de centre M 

 décrit une congruence, la sphère S' de centre M' et qui a même rayon que 

 S', décrit aussi une congruence. Si la sphère S' passe par un point fixe, la 

 sphère S décrit une congruence O et l'on obtient ainsi toutes les con- 

 gruences O. Si la sphère S' coupe ortliogonalement une sphère fixe, la 

 sphère S décrit une congruence 2O; enfin, si la sphère S est quelconque, 

 la congruence S est 30. On obtient ainsi des congruences 2O ou 30 qui 

 sont particulières. 



» Appelons cercles correspondants les cercles situés dans les plans 

 tangents en M et M' qui viennent coïncider quand on fait rouler M' sur M; 

 les cercles O de M correspondent aux cercles de M' qui sont situés sur 

 une sphère-point fixe; les cercles 2O de M correspondent aux cercles 

 de M' qui sont situés sur une sphère fixe. 



» Les cercles O sont les cercles, trouvés par Ribaucour, qui sont nor- 

 maux à une famille de surfaces. 



» Il y a une remarque importante à faire : L'inversion ne change pas la 

 nature d'une congruence de cercles ou d'une congruence de sphères, c'est-à-dire 

 qu'une sphère /jI se transforme par l'inversion en une congruence pL 



c. R., iSqg, -i' Semestre. (T. CXXIX, N" 23 j 1 '-if> 



