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 lieu de la remplacer par une théorie plus générale, construite sur ries bases 

 nouvelles, et qui comprendra, comme cas particulier, la théorie des 

 ensembles de points dans un continu à n dimensions. Cette dernière 

 théorie est dominée par la nolion de point limile; c'est celte notion cju'il 

 s'agit de transformer, de manière à la dégager, non seulement de l'intui- 

 tion du continu, mais encore de la notion d'inégalité ou de grandeur rela- 

 tive de deux nombres. 



» J'appellerai cette nouvelle théorie : théorie des ensembles de suites d'en- 

 tiers. Je me propose d'en indiquer ici les principes et d'en énoncer quelques 

 théorèmes, en mettant surtout en évidence ceux qui me sont utiles pour la 

 théorie des fonctions. Je crois d'ailleurs que cette théorie peut présenter 

 un certain intérêt en elle-même, indépendamment de ses applications. 



» II. On appelle groupe d'entiers d'ordre p un système de/; nombres en- 

 tiers positifs rangés dans un ordre déterminé, soit (a,, a„, . .., a^); il y a 

 des groupes d'ordres i, 2, 3. ...; on convient de dire que le groupe 



d'ordre /7 (a,, y.., a^) est contenu dans chacun des groupes (z,), 



(a,, a^), . . ., (a,, a^. . . ., «p.,). On apjielle suite d'entiers une suite infinie 

 d'entiers positifs rangés dans un ordre déterminé, soit 



(a,, a,, .... cLp, . . .); 



on convient de dire que cette suite est contenue dans chacun des 

 groupes («,), (a,, ao) (a.,, a^, ..., a^), .... 



» Si P est un ensemble de suites d'entiers, on dit qu'une suite A, faisant 

 ou non partie de P, est limite pour P, si, quel que soit n, il y a dans P des 

 suites antres que A contenues dans le même groupe d'ordre /i que A (c'est- 

 à-dire ayant en commun avec A les n premiers nombres). Un ensemble P 

 de suites est à\ifermé, s'il contient toutes ses suites limites. Un ensemble P 

 fermé de suites est dit parfait, si chacune de ses suites est limite pour lui. 



» Soit E un ensemble de groupes d'entiers; on dit que E est complet si, 

 dès qu'un groupe g- d'ordre/; fait partie de E, les groupes d'ordres 1,2,..., 

 p — i, qui contieimenl g font aussi partie de E. Un ensemble cojnplet E de 

 groupes est dit fermé, si tout groupe g' de E contient au moins un groupe 

 d'ordre supérieur au sien contenu aussi dans E. 



» Étant donné un ensemble complet E de groupes, il peut exister une 

 suite A, telle que tous les groupes contenant A se trouvent dansE; l'en- 

 semble F des suites, telles que A est dit déterminé par l'ensemble de 

 groupes E; l'ensemble F, s'il existe, e.>t fermé. Tout ensemble fermé de 

 groii]>cs E détermine un ensemble fermé de suites F; réciproquement, 



