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 étant donné un ensemble fermé de suites F, il existe un et un seul en- 

 semble fermé de groupes E, déterminant F ; il y a correspondance parfaite 

 entre les divers ensembles fermés de groupes et les divers ensembles 

 fermés de suites. Si F est parfait, on dira que l'ensemble de groupes cor- 

 respondant E est parfait; pour qu'un ensemble de groupes E soit parfait, 

 il faut et il suffit que tout groupe de E contienne au moins deux groupes 

 d'un même ordre supérieur au sien et contenus aussi dans E. 



» Soit P un ensemble de suites; l'ensemble P' des suites limites de P est 

 dit l'ensemble dérivé de P; P' est fermé. On définit de même P" dérivé 

 de P', . . ., P'"' dérivé de P<"-'), . . ., puis P", ensemble des suites contenues 

 dans P", quel que soit /?,... et d'une manière générale P", a. étant un 

 nombre de la première ou de la deuxième classe. 



» Si P est un ensemble fermé quelconque, il existe toujours un nombre x 

 tel que P" = P""^* :=...; ou bienP est dénombrable, on bien il se compose 

 d'un ensemble dénombrable et d'un ensemble parfait. 



» Considérons un ensemble parfait de groupes E, déterminant un en- 

 semble parfait de suites F. On dit que l'ensemble de suites P, contenu 

 dans F, est non dense dans F (ou dans E) si tout groupe de E contient au 

 moins un groupe de E ne contenant aucune suite de P. On dit que P, con- 

 tenu dans F, est de première catégorie par rapport à F s'il existe une infi- 

 nité dénombrable d'ensembles P,, Po, ..., P„, ..., dont chacun est non 

 dense dans F, et tels que toute suite de P fait partie de l'un au moins des 

 ensembles P,, P^, ..., P„, .... Un ensemble qui n'est pas de première 

 catégorie est dit de seconde catégorie. 



M Un ensemble parfait de suites F est de seconde catégorie par rapport 

 à lui-même. 



» Si un ensemble Q contenu dans l'ensemble de suites F, déterminé par 

 l'ensemble de groupes E, est de seconde catégorie, il existe un groupe g 

 de E tel que, dans tout groupe de E contenu dans g, la portion de Q qui y 



est contenue est de seconde catéeorie. 



o 



» Si P est de première catégorie, si Q est de seconde catégorie, F — P 

 et Q ont des suites communes, qui constituent un ensemble de seconde 

 catégorie. 



)) 111. Nous considérerons des éléments constitués par une même lettre r 

 affectée d'une infinité d'indices, ces indices étant des entiers positifs 

 rangés dans un ordre déterminé : la forme générale de ces éléments sera 



^a„a= a,, . • Nous Conviendrons de dire qu'un tel élément est contenu 



ilans le groupe (a,, 7.^, . . ., a^). 



