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 1) Je me propose d'indiquer, dans une prochaine Note, quelques appli- 

 cations de la théorie précédente à la théorie des fonctions. » 



ANALYSE MATHEMATIQUE. — Sur les équations différentielles du second ordre 

 à points critiques fixes. Note de M. Paul Painlevé, présentée par 

 M. Appell. 



« Considérons une équation 



où R est rationnel en -^) algébrique en Y, analytique en X. J'ai formé 



explicitement toutes les équations (I) à points critiques fixes (^Comptes 

 rendus, i8g8). Le problème inverse se pose ni\lore\lement : L'équation (!) 

 étant donnée, reconnaître si ses points critiques sont fixes. J'ai résolu complè- 

 tement ce problème dans le cas où R est rationnel en Y (^Comptes rendus, 

 i3 novembre 1899) : on sait alors reconnaître algébriquement (' ) si l'équa- 

 tion (I) a ses points critiques Hxes et (quand il en est ainsi) la ramener 

 par une transformation algébrique à un des vingt-trois types (intégrables 

 ou irréductibles) que j'ai énumérés. 



» Étudions maintenant le même problème en supposant R non plus 

 rationnel, mais algébrique en Y. Tout d'abord R doit être de la forme 



A(Y, X)Y'= -^ B(Y, X) Y' + C(Y, X), 



et les fonctions algébriques A, B, C de Y (où X est regardé comme un 

 paramètre) doivent s'exprimer rationnellement à l'aide soit d'un para- 

 métre y, soit de j et de v'j'(j' — 1) [j' ~ ^(^)] (')' la fonction j(X) ayant 

 des points critiques fixes en même temps que Y(X). Dans le premier cas, 

 si l'on substitue à Y la fonction y, on est ramené aux équations (I) où R 

 est rationnel en y. Dans le second cas, posons x = a(X) sia(X) n'est pas 



(') Par conditions (ou opérations) algébriques, j'entends des conditions (ou des 

 opérations) algébriques entre les coefficients «(X), etc. de (I). De même, par trans- 

 formation algébrique, j'entends une transformation y=:ip(Y, X), a;=:4'(X) où tp est 

 algébrique en Y et où les fonctions o, «i de X s'expriment algébriquement à l'aide 

 des a(X) et de leurs dérivées. 



(-) Ce qu'on sait reconnaître algébriquement. 



