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 une constante, et a; = X si a est constant; la nouvelle équation en y{x) 

 tioit coïncider avec une des deux suivantes : 



(-^) r . ir. . . rfrl 



I P:^;j'(j — i)(7 — a), a = const. numérique, p = o ou — > 2 w période de -7= . 



» Nous arrivons donc à ce théorème : Etant donnée une équation (I), 

 on sait, à l'aide d'un nombre fini d'opérations algébriques extrêmement 

 simples, reconnaître si elle a ses points critiques fixes et, quand d en est ainsi, 

 la ramènera un des types (i), (2), (25). Il va toutefois un cas d'ex- 

 ception, le cas où l'équation (I) se trouve ramenée au type (24) avec ?> =^0; 



la condition supplémentaire ^ -= '^ est transcendante. Ce type (24) 



(oùp = — ) est le seul dont l'intégrale possède des singularités essen- 

 tielles mobiles ; ces singularités sont des points essentiels isolés. 



n Quant aux 25 types énumérés, d'après le Tableau que j'en ai donné, 

 ils sont tous réductibles aux équations linéaires et aux quadratures, sauf 

 les six types (aS), (aS), (22), (21), (20) et (19), qui se ramènent à quatre 

 types irréductibles, a savoir le type bien connu (25) et les trois types : 



y" = 67- -\- X, y" ^ 2j' -t- xy -h a, y" ^ y"' - ^ ^ '•^' "^ ^7" "^ ¥ ' 



» L'intégrale des deux premiers est une fonction y{x) méromorphe 

 dans tout le plan, et il en est de même pour le troisième, si l'on prend 

 comme nouvelle variable indépendante ^ = logic. Les transcendantes uni- 

 formes ainsi engendrées sont irréductibles aux transcendantes classiques 

 et se calculent à l'aide (\q fonctions entières qui vérifient (pour chacun des 

 trois types) une équation très simple du 3*= ordre, que j'ai déjà indiquée. 



>i Les résultats précédents résolvent plusieurs problèmes importants. 



» Problème L — Former toutes tes équations ([), — où R est rationnel 

 en Y', algébrique en Y et en X, — dont tes points critiques sont fixes. Il suffit, 

 dans les équations (i), (2), ..., (25) [le type (20) étant écarté], d'assu- 

 jettir les fonctions arbitraires a{x), ..., qui y figurent, à être algé- 

 briques, puis d'effectuer sur ces équations la transformation Y = cp(j, x), 

 X = K^)' ^^ P'"^ générale, où tp et ^ sont algébriques en x et rationnels 



