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soit en j, soii [pour les types (24) et (2^)] en y et \y{y — i)''.v — ,^). 

 ,!:,'■ désignnnt x pour ('-It) et la constante a pour (24)- 



» Problème II. — Former toutes les équations Y"= R(Y', Y), — où R est 

 rationnel en Y', algébrique en Y, indépendant de X, — </ort^ les points cri- 

 tiques sont fixes. 



» Il suffit d'écarter du Tableau des types (i), (2), ..., (25) les 7 types 

 (25), (23), (22), (21), (20), (rg) et (10), et de remplacer, dans les types 

 restants, les fonctions arbitraires a{x). ..., par des constantes; puis d'ef- 

 fectuer sur ces équations la transformation Y = cp(^) la plus générale 



où <p est rationnel en v, ou [pour le type (24)] eny et \jy{y — i) (t ~ ^-J- 

 » D'après le Tableau même, ces équations se ramènent toutes sans 

 intégration à une équation de Riccali, où une équation 



•^ = a(x)dx, 



équations dont les coefficients sont des fonctions rationnelles àe x + x^, 

 ou de e5t-^+-^«' ou de -^{x 4- x„, g.,, g.^), Y'(;r + x„, g^, g^). J'ai déjà établi ce 

 dernier théorème {Comptes rendus, juillet 1894), mais par une méthode 

 bien plus longue et compliquée. 



» Je voudrais comparer enfin les résultats précédents avec quelques 

 théorèmes généraux que j'ai établis sur les équations du second ordre à 

 points critiques fixes 



(II; ¥(y",y',y,x)=o, 



F désignant un polynôme en y", y, y, analytique en x. Pour de telles équa- 

 tions, deux cas généraux sont à distinguer suivant que l'on peut ou non 

 choisir les constantes d'intégration de façon qu'une au moins de ces 

 constantes figure algébriquement dans y{x). Dans le premier cas, j'ai 

 montré que l'équation se ramène aux équations linéaires et aux quadra- 

 tures; le second cas, le cas où y (x) est une fonction essentiellement 

 transcendante des deux constantes, peut seul conduire à des transcendantes 

 uniformes nouvelles. Le Tableau (i ) ... (aS) fournit une vérification dé- 

 taillée de ces théorèmes. 



>) Dans mes Leçons de Stockholm, j'ai de plus indiqué comme vraisem- 

 blables ces deux théorèmes ; 



)) 1" Si l'intégrale de (II) a ses points critiques fixes mais présente des 

 singularités essentielles mobiles, ces singularités sont des points essentiels 

 isolés et i'é.juation n'est pas irrédiielible. 



