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» 2° Si l'intégrale fie (II) a ses points critiques fixes et est une fonction 

 essentiellement transcendante des deux constantes, la surface algébrique 

 F = o (oîi X est un paramètre) correspond à un cylindre f'- = f/(//— i)(m— a) 

 de l'espace (h, v, «'). 



» Ces deux théorèmes se trouvent démontrés rigoureusement pour les 

 équations (II) du premier degré en y". « 



ANALYSE MATHEMATIQUE. — Gcnéralisaliu/i d' une forinuli- ilc Gauss. 

 Note de M. E. Iîcsche, présentée par M. Hermitc. 



(( La formule très connue de Gauss 



P-' 1^ 



.r = 1 .1=1 



oi'i y (oc) désigne l'entier contenu dans x, est le premier membre d'une 



longue série de théorèmes plus généraux dus à Eisenstein, Dirichht, Stern, 

 Syh'esler et à beaucoup d'autres auteurs. C'est pourquoi j'espère que la 

 formule (2) indiquée ci-dessous, qui me semble être la source de tous ces 

 théorèmes, pourra intéresser les Géomètres. 

 » Soient 



«v„ < «v„+. < ■ ■ • < «.„ : K < K^> <■■ ■< f',„. ; «^v. ■' ' Cv..+i < • • • < c„^ 



des nombres réels représentés par des points d'une droite. Par a_,.(h ) je 

 désigne l'indice y du nombre b^ qui satisfait à la condition 



par b^i'a)' l'indice x du nombre 



)) Les symboles a^^c), b^(c)' , c.{a)', c^(by ont la signification corres- 

 pondante. Une différence entre les symboles accentués et non accentués 

 existe seulement au cas que deux ou trois des nombres a, b, c coïncident : 

 un nombre c est regardé comme situé devant un nombre b ou a coïncidant 

 avec c, et un nombre b comme situé devant un nombre a coïncitlant 

 avec b. Tous les nombres a, b, c sont contenus dans l'intervalle de a 

 à p>a (ocexcl., p incl."), à l'exception de a,, ,, b^^, r,^ qui sont la. 



