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» lui taisanl usage de ces notations, ou a léquation suivaiilf-, où 

 J(j7, v, =) est une fonction arbitraire des variables réelles x, y, z ; 



/ "a 



2] ;j[*-. «..:(*). «x(c)| —S\x-i,a^(b),a^{c)][, 



.1 = Va -1-1 



-i- 2 ! J[t-.-(«)'.c.(/-')',=J - J[c,(ay,c,(6)', ::- 1]!, 



:=Vc + l 



» En effet, si, pour v„<; ay^w^, on a Uj^^b) = y, a^Çc) = ^, un terme de 

 la première somme sera ^(x, y, z). Le nombre a^ n'étant pas le plus grand 

 de tous les nombres a, b, c, il y aura un nombre voisin à droite de a^ qui 

 pourra être ou a^^_, ou b^_^, ou c-^,. En tous cas, il y a évidemment un seul 

 terme — ^Çx, y, z) qui se trouve dans la première somme, si a^^,, dans 

 la seconde, si b^^,, dans la troisième, si c-^, est voisin dea^;. Ainsi, à chaque 

 terme ^(a;, y, s) de la partie à gauche de l'équation répond un seul terme 

 égal et de signe contraire, à l'exception du terme #(««' "«' '^c). apparte- 

 nant ou à la première, ou à la seconde, ou à la troisième somme, suivant 

 que le nombre a„^, ou 6„,, ou c,,^ est le plus grand de tous les nombres a, 

 b, c. Le seul terme négatif qui reste est — .l^(v^„ v^, v^.). 



» Il est clair qu'on peut écrire une formule tout à fait analogue à (2) 

 avec deux ou ])Ius de trois sommes, en faisant usage de deux ou plus de 

 trois systèmes de nombres a, b, c, d, .. . et d'une fonction arbitraire 

 j(.r, y) ou J'(x, y, z,u, .. .). 



» L'équation (i) est un cas particulier de (2). Prenons, pour le mon- 

 trer, a. = o, [5 = ~pq, a^ = qx, by = py, où p el q sont deux nombres pre- 

 miers impairs. On a maintenant 



où l'accent de b^i^a) peut être retranché, parce qu'aucun nombre a ne 

 peut coïncider avec un nombre b. En posant S{x, y) = xy, la formule (i) 

 résulte immédiatement. 



» Pour faire une application plus générale de (2), désignons par a{x), 

 b(x), c(x) des fonctions continues, de telle sorte que leurs valeurs situées 



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